Przenoszenie średnich i wykładniczych modeli wygładzania Jako pierwszy krok w wychodzeniu poza średnie modele, przypadkowe modele walk i modele trendów liniowych, nieinwazyjne wzorce i trendy mogą być ekstrapolowane za pomocą modelu ruchomego średniego lub wygładzającego. Podstawowym założeniem za modelami uśredniania i wygładzania jest to, że szereg czasowy jest lokalnie stacjonarny, a powoli zmienia się średnio. W związku z tym bierzemy ruchomą (lokalną) średnią w celu oszacowania bieżącej wartości średniej, a następnie użyć jej jako prognozy na najbliższą przyszłość. Można to uznać za kompromis między średnim modelem a modelem losowego chodzenia bez dryfu. Ta sama strategia może być wykorzystana do oszacowania i ekstrapolacji lokalnego trendu. Średnia ruchoma jest często określana jako quotsmoothedquot wersja pierwotnej serii, ponieważ uśrednianie krótkotrwałe ma efekt wygładzania uderzeń w oryginalnej serii. Dostosowując stopień wygładzania (szerokość średniej ruchomej), możemy mieć nadzieję na osiągnięcie jakiegoś optymalnego balansu między osiągnięciem modelu średniej i losowej. Najprostszym modelem uśredniania jest. Prosta (równoważona wagą) Średnia ruchoma: Prognoza dla wartości Y w czasie t1, która jest wykonana w czasie t równa się zwykłej średniej z ostatnich obserwacji m: (Tutaj i gdzie indziej będę używać symbolu 8220Y-hat8221 dla prognozowania serii czasowej Y dokonanej najwcześniej w poprzednim terminie przez dany model). Ta średnia jest wyśrodkowana w okresie t - (m1) 2, co oznacza, że oszacowanie lokalnej średniej będzie miało tendencję do opóźnienia w stosunku do prawdziwych wartość lokalnej średniej o około (m1) 2 okresów. Tak więc mówimy, że średni wiek danych w prostej średniej ruchomej wynosi (m1) 2 w stosunku do okresu, na który obliczana jest prognoza: jest to ilość czasu, w jakim prognozy będą się spóźniały za punktami zwrotnymi w danych . Na przykład, jeśli uśrednimy ostatnie 5 wartości, prognozy będą wynosić około 3 okresy późne w odpowiedzi na punkty zwrotne. Zauważ, że jeśli m1, model prostego ruchu średniego (SMA) odpowiada modelowi losowego chodzenia (bez wzrostu). Jeśli m jest bardzo duża (porównywalna z długością okresu szacowania), model SMA jest równoważny średniemu modelowi. Podobnie jak w przypadku dowolnego parametru modelu prognozowania, zwykle dostosowywana jest wartość k w celu uzyskania najlepszej jakości danych, tzn. Najmniejszych średnich błędów prognozy. Oto przykład serii, która wydaje się wykazywać przypadkowe wahania wokół średniej wolno zmieniającej się. Po pierwsze, spróbuj dopasować go do modelu przypadkowego spaceru, co odpowiada prostej średniej ruchomej z jednej kadencji: model losowego spaceru reaguje bardzo szybko na zmiany w serii, ale w ten sposób robi to znacznie pobudzając kwintesencję dane (losowe fluktuacje), jak również kwotsignalquot (lokalna średnia). Jeśli weźmiemy pod uwagę prostą średnią ruchomą wynoszącą 5 terminów, otrzymamy gładszy zestaw prognoz: 5-letnia prosta średnia ruchoma daje w tym przypadku znacznie mniejsze błędy niż model losowego chodu. Przeciętny wiek danych w tej prognozie wynosi 3 ((51) 2), co oznacza, że ma tendencję do pozostawania za punktami zwrotnymi przez około trzy okresy. (Na przykład spadek koniunktury wydaje się występować w okresie 21, ale prognozy nie odwracają się do kilku okresów później). Zauważ, że długoterminowe prognozy modelu SMA to poziome linie proste, podobnie jak w przypadku losowego spaceru Model. Tak więc, model SMA zakłada, że nie ma tendencji w danych. Jednakże, mając na uwadze, że prognozy z modelu losowego spaceru są po prostu równoważne ostatniej obserwowanej wartości, prognozy z modelu SMA są równe średniej ważonej ostatnich wartości. Ograniczenia ufności obliczone przez Statgraphics w odniesieniu do długoterminowych prognoz dotyczących prostej średniej ruchomej nie są szersze, gdy horyzont prognoz wzrasta. To oczywiście nie jest poprawne Niestety, nie ma podstawowej teorii statystycznej, która mówi nam, w jaki sposób przedziały ufności powinny poszerzać się w tym modelu. Nie jest jednak zbyt trudno obliczyć empirycznych szacunków dopuszczalnych granic dla prognoz długoterminowych. Na przykład można utworzyć arkusz kalkulacyjny, w którym model SMA byłby wykorzystywany do prognozowania 2 kroków naprzód, 3 kroków naprzód itp. W ramach historycznej próbki danych. Następnie można obliczyć próbkowe odchylenia standardowe błędów w każdym horyzoncie prognozy, a następnie skonstruować interwały zaufania dla prognoz długoterminowych przez dodawanie i odejmowanie wielokrotności odpowiedniego odchylenia standardowego. Jeśli będziemy próbować 9-letniej prostej średniej ruchomej, otrzymamy jeszcze gładsze prognozy i bardziej opóźniamy: średni wiek wynosi obecnie 5 okresów ((91) 2). Jeśli weźmiemy 19-letnią średnią ruchliwą, średni wiek wzrośnie do 10: Zauważ, że prognozy są już za punktami zwrotnymi o około 10 okresów. Która suma wygładzania jest najlepsza dla tej serii Poniżej znajduje się tabela porównująca ich statystykę błędów, w tym również średnia 3-letnia: Model C, 5-letnia średnia ruchoma, daje najniższą wartość RMSE przez mały margines w ciągu 3 średnie i średnie 9-dniowe oraz inne statystyki są niemal identyczne. Wśród modeli o bardzo podobnych statystykach błędów możemy wybrać, czy wolelibyśmy nieco lepiej reagować lub trochę bardziej sprawnie. (Powtórz początek strony). Browns Simple Exponential Smoothing (średnia wykładana ważona średnią ruchoma) Opisany wyżej prosty model średniej średniej ma niepożądaną właściwość, która traktuje ostatnie obserwacje równomiernie i całkowicie ignoruje wszystkie poprzednie obserwacje. Intuicyjnie dane z przeszłości powinny być dyskontowane w sposób bardziej stopniowy - na przykład ostatnie obserwacje powinny mieć nieco więcej niż druga ostatnia, a druga ostatnia powinna być nieco większa niż ostatnia z trzech, a wkrótce. Dokonuje tego prostokątny wygładzający (SES). Niech 945 oznacza stałą kwotową konsystencji (liczba między 0 a 1). Jednym ze sposobów zapisania modelu jest zdefiniowanie serii L, która reprezentuje aktualny poziom (tzn. Średnia wartość lokalna) szeregu szacowana na podstawie danych do dnia dzisiejszego. Wartość L w czasie t obliczana jest rekurencyjnie z własnej poprzedniej wartości: W ten sposób bieżąca wygładzona wartość jest interpolacją pomiędzy poprzednią wygładzoną wartością a bieżącą obserwacją, gdzie 945 kontroluje bliskość interpolowanej wartości do najnowszej obserwacja. Prognoza na następny okres jest po prostu aktualną wygładzoną wartością: równoważnie możemy wyrazić następną prognozę bezpośrednio w odniesieniu do poprzednich prognoz i wcześniejszych obserwacji w dowolnej z następujących równoważnych wersji. W pierwszej wersji prognoza jest interpolacją między poprzednią prognozą a poprzednią obserwacją: w drugiej wersji następna prognoza uzyskuje się przez dostosowanie poprzedniej prognozy w kierunku poprzedniego błędu w ułamkowej wartości 945. jest błędem dokonanym w czas t. W trzecim projekcie prognoza jest średnią ruchoma ważoną wykładnicą (tzn. Zdyskontowaną) z współczynnikiem dyskontowania 1 - 945: wersja interpolacyjna formuły prognozowania jest najprostszym sposobem użycia, jeśli model implementuje model w arkuszu kalkulacyjnym: jest on dopasowany do pojedynczą komórkę i zawiera odwołania do komórek wskazujące na poprzednią prognozę, wcześniejsze obserwacje oraz komórkę, w której przechowywana jest wartość 945. Zauważ, że jeśli 945 1, model SES jest równoważny modelowi losowego spaceru (bez wzrostu). Jeśli 945 0, model SES jest odpowiednikiem średniego modelu, zakładając, że pierwsza wygładzona wartość jest równa średniej. (Powrót na górę strony.) Przeciętny wiek danych w prognozie wygładzania według wykładników prostych i wykładniczych wynosi 1 945 w stosunku do okresu, w którym obliczana jest prognoza. (Nie powinno to być oczywiste, ale można to łatwo wykazać przez ocenę nieskończonej serii). W związku z tym, prosta średnia ruchoma przebiega za punktami zwrotnymi przez około 1 945 okresów. Na przykład, gdy 945 0,5 opóźnienie to 2 okresy, gdy 945 0,2 opóźnienie wynosi 5 okresów, gdy 945 0,1 opóźnienia wynosi 10 okresów itd. Dla pewnego przeciętnego wieku (czyli ilości opóźnień), prosta prognoza wygładzania wykładniczego (SES) jest nieco lepsza od prognozy SMA (Simple moving average), ponieważ w ostatnim obserwowaniu obserwuje się relatywnie większą wagę. jest nieco bardziej odpowiadający na zmiany zachodzące w niedawnej przeszłości. Na przykład model SMA z 9 terminami i model SES z 945 0.2 mają średni wiek 5 lat dla danych w ich prognozach, ale model SES daje większą wagę w stosunku do ostatnich 3 wartości niż model SMA i na poziomie w tym samym czasie nie robi nic 8220forget8221 o wartościach powyżej 9 okresów, jak pokazano na poniższym wykresie: Inną ważną zaletą modelu SES w modelu SMA jest to, że model SES wykorzystuje parametr wygładzania, który jest ciągle zmienny, dzięki czemu można z łatwością zoptymalizować za pomocą algorytmu quotsolverquot w celu zminimalizowania średniego kwadratu. Optymalna wartość 945 w modelu SES dla tej serii okazała się wynosić 0.2961, jak pokazano poniżej: średni wiek danych w tej prognozie to 10.2961 3.4 okresy, które są podobne do średniej 6-letniej prostej średniej ruchomej. Długoterminowe prognozy z modelu SES są poziomej prostej. jak w modelu SMA i modelu przypadkowego spacerowania bez wzrostu. Należy jednak pamiętać, że przedziały ufności obliczane przez Statgraphics różnią się w rozsądny sposób i że są one znacznie węższe niż przedziały ufności dla modelu losowego spaceru. Model SES zakłada, że seria jest nieco bardziej przewidywalna niż model losowego chodu. Model SES jest faktycznie szczególnym przypadkiem modelu ARIMA. tak więc statystyczna teoria modeli ARIMA stanowi solidną podstawę do obliczania przedziałów ufności dla modelu SES. W szczególności model SES jest modelem ARIMA z odmienną różnicą, terminem MA (1), a nie określonym terminem. inaczej znany jako model quotARIMA (0,1,1) bez stałej ilości. Współczynnik MA (1) w modelu ARIMA odpowiada ilościowi 1- 945 w modelu SES. Na przykład, jeśli dopasujesz model ARIMA (0,1,1) bez stałej do analizowanej serii, szacowany współczynnik MA (1) okazuje się wynosić 0.7029, czyli prawie dokładnie minus minus 0.2961. Możliwe jest dodanie założenia niezerowej stałej tendencji liniowej do modelu SES. W tym celu wystarczy podać model ARIMA z jedną różniczkową różnicą i terminem MA (1) ze stałą, tj. Model ARIMA (0,1,1) ze stałą. Prognozy długoterminowe będą wtedy miały tendencję, która jest równa średniej tendencji obserwowanej w całym okresie szacunkowym. Nie można tego zrobić w połączeniu z dostosowaniem sezonowym, ponieważ opcje dostosowania sezonowego są wyłączone, gdy typ modelu jest ustawiony na ARIMA. Można jednak dodać stałą długoterminową tendencję wykładniczą do prostego modelu wygładzania wykładniczego (z korektą sezonową lub bez), korzystając z opcji regulacji inflacji w procedurze prognozowania. Odpowiednia szybkość wzrostu kwotowania (stopa wzrostu procentowego) w danym okresie może być oszacowana jako współczynnik nachylenia w modelu liniowego tendencji dopasowany do danych w połączeniu z naturalną transformacją logarytmiczną lub może opierać się na innych, niezależnych informacjach dotyczących długoterminowych perspektyw wzrostu . (Powrót na początek strony). Browns Linear (tj. Podwójne) Wyrównywanie wykładnicze Modele SMA i modele SES zakładają, że w danych nie ma żadnego trendu (co zwykle jest OK lub przynajmniej nie jest zbyt złe dla 1- prognozy stopniowe, gdy dane są stosunkowo hałaśliwe) i można je zmodyfikować, aby uwzględnić stały trend liniowy, jak pokazano powyżej. Co z trendami krótkoterminowymi Jeśli seria wykazuje zróżnicowaną stopę wzrostu lub cykliczny wzór wyraźnie wyróżniający się w stosunku do hałasu, a jeśli istnieje potrzeba prognozowania więcej niż jednego okresu, szacunek lokalnej tendencji może być również problem. Prosty model wygładzania wykładniczego można uogólnić w celu uzyskania liniowego modelu wygładzania wykładniczego (LES), który oblicza lokalne szacunki zarówno poziomu, jak i tendencji. Najprostszym modelem trendów jest Browns liniowy model wygładzania wykładniczego, który wykorzystuje dwie różne wygładzone serie, które są wyśrodkowane w różnych punktach w czasie. Formuła prognozy opiera się na ekstrapolacji linii przez dwa centra. (Poniżej omówiono bardziej wyrafinowaną wersję tego modelu, Holt8217). Algorytm liniowy linearyzacji Brown8217s, podobny do prostokątnego modelu wygładzania, może być wyrażony w wielu różnych, ale równoważnych formach. Niewątpliwą formą tego modelu jest zwykle wyrażona w następujący sposób: Niech S oznacza pojedynczo wygładzoną serię otrzymaną przez zastosowanie prostego wygładzania wykładniczego do serii Y. Oznacza to, że wartość S w okresie t jest wyrażona przez: (Przypomnijmy, że według prostego wyrównywanie wykładnicze, to byłaby prognoza dla Y w okresie t1). Pozwólmy Squot oznaczać podwójnie wygładzoną serię otrzymaną przez zastosowanie prostego wygładzania wykładniczego (przy użyciu tego samego 945) do serii S: Wreszcie prognoza dla Y tk. dla każdego kgt1, podaje: Otrzymuje e 1 0 (to znaczy trochę oszukiwać, a pierwsza prognoza jest równa faktycznej pierwszej obserwacji) i e 2 Y 2 8211 Y 1. po których generowane są prognozy przy użyciu powyższego wzoru. Daje to takie same wartości, jak wzór na podstawie S i S, jeśli te ostatnie zostały uruchomione przy użyciu S 1 S 1 Y 1. Ta wersja modelu jest używana na następnej stronie, która ilustruje kombinację wygładzania wykładniczego z dostosowaniem sezonowym. Model LES firmy Holt8217s oblicza lokalny szacunek poziomu i trendu, wygładając ostatnie dane, ale fakt, że wykonuje to za pomocą pojedynczego parametru wygładzania, ogranicza wzorce danych, które można dopasować: poziom i trend nie mogą zmieniać się w niezależnych stawkach. Model LES firmy Holt8217s rozwiązuje ten problem przez uwzględnienie dwóch stałych wygładzania, po jednym dla poziomu i jednego dla tego trendu. W dowolnym momencie t, podobnie jak w modelu Brown8217s, szacuje się, że na poziomie lokalnym jest szacunkowa t t lokalnego trendu. Tutaj są obliczane rekurencyjnie z wartości Y obserwowanej w czasie t oraz poprzednich szacunków poziomu i tendencji przez dwa równania, które nakładają na siebie wyrównywanie wykładnicze. Jeśli szacowany poziom i tendencja w czasie t-1 to L t82091 i T t-1. odpowiednio, wówczas prognoza dla Y tshy, która została dokonana w czasie t-1, jest równa L t-1 T t-1. Gdy rzeczywista wartość jest zaobserwowana, zaktualizowany szacunek poziomu jest obliczany rekurencyjnie przez interpolowanie pomiędzy Y tshy a jego prognozą, L t-1 T t-1, przy użyciu odważników 945 i 1 945. Zmiana szacowanego poziomu, mianowicie L t 8209 L t82091. można interpretować jako hałasujący pomiar tendencji w czasie t. Zaktualizowane oszacowanie trendu jest następnie obliczane rekurencyjnie przez interpolowanie pomiędzy L t 8209 L t82091 a poprzednim oszacowaniem tendencji T t-1. przy użyciu odważników 946 i 1-946: Interpretacja stałej 946 wyrównania tendencji jest analogiczna do stałej stymulacji 945. Modele o małych wartościach 946 zakładają, że tendencja zmienia się bardzo powoli w czasie, podczas gdy modele z większy rozmiar 946 zakłada, że zmienia się szybciej. Model z dużą liczbą 946 uważa, że dalsza przyszłość jest bardzo niepewna, ponieważ błędy w oszacowaniu tendencji stają się bardzo ważne, gdy prognozuje się więcej niż jeden rok. (Powrót na początek strony). Stałe wygładzania 945 i 946 można oszacować w zwykły sposób minimalizując średnie kwadratowe błędy prognoz na jeden etap. Gdy to nastąpi w Statgraphics, szacunki wyniosły 945 0,3048 i 946 0,008. Bardzo mała wartość 946 oznacza, że model zakłada bardzo niewielką zmianę tendencji z jednego okresu do następnego, więc w zasadzie ten model próbuje oszacować długoterminowy trend. Przez analogię do pojęcia średniego wieku danych używanych do oszacowania lokalnego poziomu szeregu, średni wiek danych wykorzystywanych do oszacowania tendencji lokalnej jest proporcjonalny do 1 946, chociaż nie jest dokładnie taki sam . W tym przypadku okazuje się, że jest to 10.006 125. Jest to bardzo dokładna liczba, ponieważ dokładność szacowania 946 isn8217t rzeczywiście wynosi 3 miejsca po przecinku, ale ma ten sam ogólny porządek wielkości, co wielkość próbki 100, więc ten model uśrednia wiele historii w szacowaniu tendencji. Poniższa wykres prognozuje, że model LES szacuje nieco większą tendencję lokalną na końcu serii niż stała tendencja szacowana w modelu SEStrend. Ponadto szacowana wartość 945 jest niemal identyczna z uzyskaną przez dopasowanie modelu SES do trendu lub bez, więc jest to prawie ten sam model. Teraz wyglądają jak rozsądne prognozy modelu, które ma oszacować trend lokalny Jeśli wygląda to na wykresie, wygląda na to, że lokalny trend spadł na koniec serii Co się stało Parametry tego modelu zostały oszacowane przez zminimalizowanie kwadratu błędów prognoz na jeden etap, a nie prognoz długoterminowych, w których to przypadku tendencja ta ma wiele różnic. Jeśli wszystko, na co patrzysz, to błędy z jednopodstawowym wyprzedzeniem, nie widzisz większego obrazu trendów w ciągu 10 lub 20 okresów (powiedzmy). Aby uzyskać ten model bardziej zgodny z naszą ekstrapolacją danych oczu, możemy ręcznie dostosować stałą wygładzania trendu, tak aby używała krótszej linii odniesienia dla szacowania tendencji. Na przykład, jeśli zdecydujemy się ustawić 946 0.1, średni wiek danych wykorzystywanych do oszacowania tendencji lokalnej to 10 okresów, co oznacza, że uśrednimy tendencję w ciągu ostatnich 20 okresów. Here8217s jak wygląda prognoza wykresu, jeśli ustawimy 946 0.1 przy zachowaniu 945 0.3. To wydaje się intuicyjnie rozsądne w tej serii, chociaż najprawdopodobniej jest to niebezpieczne, aby wyliczyć tę tendencję w przyszłości o więcej niż 10 okresów. Co ze statystykami o błędach Oto porównanie modelu dwóch modeli przedstawionych powyżej oraz trzech modeli SES. Optymalna wartość 945 dla modelu SES wynosi około 0,3, ale uzyskuje się podobne wyniki (z nieco większą lub mniejszą reakcją) przy 0,5 i 0,2. (A) Holts liniowy exp. wygładzanie z alfa 0,3048 i beta 0,008 (B) liniowe liniowe exp. wygładzanie za pomocą alfa 0.3 i beta 0.1 (C) proste wyrównywanie wykładnicze z alfa 0.5 (D) proste wyrównywanie wykładnicze z alfa 0.3 (E) proste wyrównywanie wykładnicze z alfa 0.2 ich statystyka jest prawie identyczna, więc naprawdę możemy8217t dokonać wyboru na podstawie Błędy prognozy dotyczące etapu wyprzedzania w ramach próbki danych. Musimy pogodzić się z innymi względami. Jeśli uważamy, że sensowne jest oparcie bieżącej tendencji szacunkowej na to, co wydarzyło się w ciągu ostatnich 20 okresów, możemy zrobić przypadek modelu LES z 945 0,3 i 946 0,1. Jeśli chcemy być agnostyczni, czy istnieje tendencja lokalna, jeden z modeli SES może być łatwiejszy do wyjaśnienia, a także dałby więcej prognoz średniej wielkości na najbliższe 5 lub 10 okresów. (Powrót na początek strony.) Który typ tendencji - ekstrapolacja jest najlepsza: pozioma lub liniowa Dane empiryczne sugerują, że jeśli dane zostały już skorygowane (jeśli to konieczne) dla inflacji, może okazać się nieprzejrzyste ekstrapolacja krótkoterminowych liniowych trendy bardzo daleko w przyszłość. Trendy widoczne dziś mogą się spowolnić w przyszłości ze względu na różne przyczyny, takie jak nieaktualność produktu, zwiększona konkurencja i cykliczne spowolnienie gospodarcze lub wzrost w przemyśle. Z tego powodu prosty wygładzanie wykładnicze często wykonuje lepszą próbę poza próbą niż oczekiwano inaczej, pomimo ekstrapolacji tendencji poziomej. Często w praktyce często stosuje się modyfikacje trendu tłumiącego liniowego modelu wygładzania wykładniczego, aby w praktyce wprowadzić do konserwacji swój zapis konserwatyzmu. Model "LES" z tendencjami tłumionymi może być realizowany jako szczególny przypadek modelu ARIMA, w szczególności modelu ARIMA (1,1,2). Możliwe jest obliczanie przedziałów ufności wokół prognoz długoterminowych wytworzonych przez wykładnicze modele wygładzania, biorąc pod uwagę je jako szczególne przypadki modeli ARIMA. (Uwaga: nie wszystkie programy obliczają prawidłowe przedziały ufności dla tych modeli.) Szerokość przedziałów ufności zależy od (i) błędu RMS modelu, (ii) rodzaju wygładzania (prostego lub liniowego) (iii) wartości (-ów) wygładzania (a) i (iv) liczbę prognozowanych okresów. Ogólnie rzecz biorąc, odstępy czasowe rozciągają się szybciej, gdy 945 staje się większe w modelu SES i rozciągają się znacznie szybciej, gdy stosuje się linearne, a nie proste wygładzanie. Ten temat jest omówiony w dalszej części sekcji ARIMA w uwagach. (Powrót na początek strony.) R - Prognozowanie podejść do prognozowania ARITA (automatyczna regresja ruchoma średnia) ETS (wykładniczy model wygładzania przestrzeni przestrzennej) Omówimy, jak te metody działają i jak z nich korzystać. Omówienie pakietów omówiono w edytowaniu Wykładnia Wygładzanie edytuj Nazwy AKA: średnia ważona wykładni (EWMA) Odpowiednia do modelu ARIMA (0,1,1) bez stałego określenia Używana do wygładzania danych do prezentowania prezentacji Proste średnie ruchome: przeszłe obserwacje są ważone równie wykładniczymi wygładzanie: przypisuje wykładniczo malejące wagi w czasie Formuła xt - surowa sekwencja danych - wyjście algorytmu wyrównywania wykładniczego (szacunek następnej wartości x) - współczynnik wygładzania. 0160lt160160lt1601.Wybieranie prawa Nie można używać formalnego sposobu statystycznego do optymalizacji wartości (np. OLS), tym większa odległość, jaka jest zbliżona do prognozowania naiwnego (te same porty, co oryginalne serie z jednym opóźnieniem) Double Exponential Smoothing edit Simple wyrównywanie wykładnicze nie działa dobrze, gdy występuje tendencja (zawsze będzie miała tendencję do wygaszania) Wyrównywanie wykładnicze podwójne jest grupą metod dotyczących problemu wyrównywania gładkości podwójnej wykładziny Holt-Wintersa I dla t gt 1 gdzie współczynnik wygładzania danych. 0160lt160160lt1601 i jest współczynnikiem wygładzania trendów. 0160lt160160lt1601. Wyjście F tm - oszacowanie wartości x w czasie tm, mgt0 w oparciu o dane nieistotne do czasu t potrójna wykładnicza korekta uwzględnia zmiany sezonowe oraz trendy sugerowane przez studenta Holtsa, Petera Wintersa, w 1960 Wprowadzenie xt - sekwencja danych surowych obserwacji t 1601600 L długość cyklu zmian sezonowych Metoda oblicza: linię trendu dla danych sezonowych, które ważą wartości w linii trendu w oparciu o punkt, w którym punkt czasowy mieści się w cyklu długości L. s t reprezentuje wygładzoną wartość części stałej dla czasu t. bt reprezentuje sekwencję najlepszych oszacowań liniowej tendencji, nałożonej na zmiany sezonowe ct jest sekwencją czynników korekcji sezonowej ct jest spodziewaną proporcją przewidywanej tendencji w dowolnym momencie t mod L w cyklu, na podstawie którego obserwowane są uwagi zainicjować wskaźniki sezonowe c tL musi istnieć co najmniej jeden pełny cykl w danych Wyjście algorytmu jest ponownie zapisywane jako F tm. oszacowanie wartości x w czasie tm, mgt0 w oparciu o surowe dane do czasu t. Wyrównanie trzykrotnie wykładnicze jest podane wzorami, gdzie jest współczynnik wygładzania danych. 0160lt160160lt1601 jest współczynnikiem wygładzania trendu. 0160lt160160lt1601 i jest czynnikiem wygładzającym sezonowość. 0160lt160160lt1601. Ogólna formuła wstępnego oszacowania trendu b 0 to: Określenie wstępnych szacunków dla wskaźników sezonowych ci dla i 1,2. L jest nieco bardziej zaangażowana. Jeśli N jest liczbą kompletnych cykli obecnych w danych, to: Zauważ, że Aj jest średnią wartością x w j-tym cyklu Twoich danych. ETS edit Nadpisywanie parametrów 8.4 8.4 Przenoszenie średnich modeli Zamiast używać przeszłych wartości zmiennej prognozowanej w regresji, model średniej ruchomości wykorzystuje poprzednie błędy prognozy w modelu regresywnym. y c t etta etta k etta, gdzie et jest białym szumem. Odnoszę się do tego jako model typu MA (q). Oczywiście nie obserwujemy wartości et, więc nie jest to regresja w zwykłym sensie. Zauważ, że każda wartość yt może być traktowana jako ważona średnia ruchoma ostatnich kilku błędów prognozy. Nie należy jednak mylić średnich ruchomej z ruchomej wygładzonej średniej, o której mówiliśmy w rozdziale 6. W celu oszacowania cyklu trendu wcześniejszych wartości wykorzystywany jest średnioroczny model prognozowania przyszłych wartości, podczas gdy ruchome średnie wygładzenie jest używane do szacowania cyklu trendu ostatnich wartości. Rysunek 8.6: Dwa przykłady danych z ruchomych średnich modeli o różnych parametrach. Lewo: MA (1) z y t 20e t 0.8e t-1. Po prawej: MA (2) z y t e t e t-1 0,8e t-2. W obu przypadkach, e t jest normalnie rozproszonym białym hałasem ze średnią zerem i wariancją. Rysunek 8.6 przedstawia niektóre dane z modelu MA (1) i modelu MA (2). Zmiana parametrów theta1, kropki, thetaq powodują, że różne wzorce serii czasowych. Podobnie jak w modelach autoregresywnych, wariancja warunku błędów et zmienia tylko skalę szeregu, a nie wzorców. Możliwe jest pisanie dowolnego stacjonarnego modelu AR (p) jako modelu MA (infty). Na przykład, używając powtórzonej podstawy, możemy to udowodnić za model AR (1): rozpocznij yt amp phi1y et amp phi1 (phi1y e) et amp phi12y phi1 i et phi fiordy phi12e phi1 i koniec amptext Pod warunkiem -1 lt phi1 lt 1, wartość phi1k będzie mniejsza, gdy k powiększy się. Więc ostatecznie otrzymujemy yt et phi1 e phi12 e phi13 e cdots, proces MA (infty). Wynik odwrotny utrzymuje się, jeśli wprowadzamy pewne ograniczenia parametrów MA. Następnie model MA nazywa się odwracalnym. Oznacza to, że możemy pisać dowolny proces odwracalny MA (q) jako proces AR (infty). Modele odwracalne nie tylko umożliwiają nam konwersję z modeli MA na modele AR. Mają także pewne właściwości matematyczne, które ułatwiają ich stosowanie w praktyce. Ograniczenia inwersji są podobne do ograniczeń stacjonarnych. Dla modelu MA (1): -1lttheta1lt1. Dla modelu MA (2): -1lttheta2lt1, theta2theta1 gt-1, theta1 - eta2l1. Bardziej skomplikowane warunki zachowują się dla qge3. Ponownie, R zajmie się tymi ograniczeniami podczas szacowania modeli. Używanie analizy cyklu czasowego serii R dla analizy czasu Ten podręcznik zawiera informacje na temat korzystania z oprogramowania statystycznego R do przeprowadzania prostych analiz, które są wspólne podczas analizy danych z serii czasowych. Niniejsza broszura zakłada, że czytelnik posiada podstawową wiedzę na temat analizy serii czasowej, a główny cel broszury nie polega na wyjaśnieniu analizy serii czasowej, ale raczej wyjaśnić, jak przeprowadzić te analizy przy użyciu R. Jeśli jesteś nowy w serii czasowej analizę i chcę dowiedzieć się więcej o dowolnym z przedstawionych tutaj pojęć, gorąco polecam książkę Open 8220Time series8221 (kod produktu M24902) dostępną z Open University Shop. W tej broszurze będę używać zestawów danych z serii czasowych, które zostały udostępnione przez Rob Hyndmana w jego bibliotece danych z serii czasowej w robjhyndmanTSDL. Jeśli podoba Ci się niniejsza broszura, możesz również zapoznać się z moją książeczką dotyczącą używania R do statystyk biomedycznych, a-little-book-of-for-biomedical-statistics. readthedocs. org. i moja broszura o użyciu R do analizy wielowymiarowej, little-book-of-r-for-ultultivariate-analysis. readthedocs. org. Czytanie danych z serii czasowej Pierwszą rzeczą, którą chcesz zrobić, aby analizować dane z serii czasowej, będzie odczytanie jej w R i zaplanowanie serii czasowej. Można odczytywać dane w R przy użyciu funkcji scan (), która zakłada, że dane dla kolejnych punktów czasowych są w prostym pliku tekstowym z jedną kolumną. Na przykład plik robjhyndmantsdldatamisckings. dat zawiera dane dotyczące wieku śmierci następnych królów Anglii, począwszy od Williama Zdobywcę (oryginalne źródło: Hipel i Mcleod, 1994). Zestaw danych wygląda tak: Wyświetlono tylko kilka pierwszych wierszy pliku. Pierwsze trzy wiersze zawierają komentarz na temat danych i chcemy zignorować to podczas odczytywania danych do R. Można to wykorzystać, używając parametru 8220skip8221 funkcji skanowania (), która określa liczbę wierszy na górze plik do zignorowania. Aby przeczytać plik w R, ignorując trzy pierwsze wiersze, wpiszemy: W tym przypadku został przeczytany wiek śmierci 42 kolejnych królów Anglii w zmiennej 8216kings8217. Po przeczytaniu danych serii czasowej w R, następnym krokiem jest zapisanie danych w obiekcie szeregów czasowych w R, dzięki czemu można używać wielu funkcji R8217 do analizy danych szeregowych. Aby zapisać dane w obiekcie szeregowym czasowym, użyjemy funkcji ts () w R. Na przykład, aby zapisać dane w zmiennej 8216kings8217 jako obiekt z serii szeregów czasowych w R, wpisujemy: Czasami zestaw danych serii czasowych, mogły być gromadzone w regularnych odstępach czasu, które trwały krócej niż rok, na przykład co miesiąc lub kwartalnie. W tym przypadku można określić liczbę przypadków zbierania danych rocznie przy użyciu parametru 8216frequency8217 w funkcji ts (). Dla miesięcznych danych szeregowych ustawia się częstotliwość 12, a dla danych kwartalnych szeregów czasowych ustawiona jest częstotliwość4. Można również określić rok, w którym dane zostały zebrane oraz pierwszy odstęp w tym roku, używając parametru 8216start8217 w funkcji ts (). Jeśli na przykład pierwszy punkt danych odpowiada drugim kwartałowi 1986, należy ustawić początek (1986,2). Przykładem jest zestaw danych dotyczących liczby porodów miesięcznie w Nowym Jorku, od stycznia 1946 do grudnia 1959 (pierwotnie zebrane przez Newtona). Te dane są dostępne w pliku robjhyndmantsdldatadatanybirths. dat Możemy odczytać dane w R i zapisać je jako obiekt z serii czasowych, wpisując: Podobnie plik robjhyndmantsdldatadatafancy. dat zawiera miesięczną sprzedaż sklepu z pamiątkami w mieście nadmorskim w mieście Queensland, Australia, od stycznia 1987 do grudnia 1993 (oryginalne dane Wheelwright i Hyndman, 1998). Możemy odczytywać dane do R, wpisując: Serie ploterów Czas po przeczytaniu serii czasów w R, następnym krokiem jest generowanie wykresu danych szeregowych, które można wykonać z funkcją plot. ts () w R. Na przykład, aby wydrukować cykl czasowy wieku śmierci 42 kolejnych królów Anglii, wpisujemy: widać z wykresu czasowego, że ta seria czasów mogłaby być prawdopodobnie opisana przy użyciu modelu addytywnego, ponieważ przypadkowe wahania w danych są ze stałą wielkością w czasie. Podobnie, w celu sporządzenia serii czasowej liczby narodzin miesięcznie w Nowym Jorku, wpisujemy: od tamtej pory widzimy, że istnieje szereg sezonowych różnic w liczbie porodów miesięcznie: każdego lata jest szczyt , a koryta każdej zimy. Znowu wydaje się, że serie czasowe mogłyby być prawdopodobnie opisane przy użyciu modelu addytywnego, ponieważ sezonowe fluktuacje są w przybliżeniu nietrwałe w stosunku do wielkości i nie wydają się zależeć od szeregu czasów, a przypadkowe wahania również wydają się być w przybliżeniu stałej wielkości w czasie. Podobnie, aby zaplanować cykl miesięczny miesięcznej sprzedaży sklepu z pamiątkami w mieście nadmorskim w Queensland w Australii wpisujemy: W takim przypadku wydaje się, że model dodatku nie jest odpowiedni do opisania tej serii czasowej, ponieważ rozmiar wahań sezonowych i losowych wahań wydają się wzrastać wraz z poziomem szeregu czasowego. W związku z tym musimy przekształcić szereg czasowy w celu otrzymania przekształconej serii czasowej, którą można opisać przy użyciu modelu addytywnego. Na przykład możemy przekształcić szereg czasowy, obliczając naturalny dziennik oryginalnych danych: widać, że wielkość wahań sezonowych i losowych wahań w seriach czasowych przekształcanych logicznie wydają się być stałą z czasem i nie zależy od poziomu serii czasowej. Tak więc serie czasów transformowanych logami można prawdopodobnie opisać przy użyciu modelu addytywnego. Dekompozycja serii czasów Podział na serie czasów polega na oddzieleniu jej od składowych składników, które są zazwyczaj składnikiem tendencji i składnikiem nieregularnym, a jeśli jest to sezon sezonowy, składnik sezonowy. Zdezaktualnianie danych poza sezonem Nieskoczłonowa seria czasowa składa się ze składnika tendencji i składnika nieprawidłowego. Podział na szereg czasowy polega na próbie rozdzielenia serii czasowej na te składniki, czyli oszacowania składnika tendencji i składnika nieregularnego. Aby oszacować składową trendu serii poza sezonem, którą można opisać przy użyciu modelu addytywnego, często stosuje się metodę wygładzania, taką jak obliczanie prostej średniej ruchomej serii czasowej. Funkcja SMA () w pakiecie 8220TTR8221 R może być wykorzystana do wygładzania danych serii czasowej za pomocą prostej średniej ruchomej. Aby skorzystać z tej funkcji musimy najpierw zainstalować pakiet 8220TTR8221 R (instrukcje dotyczące instalowania pakietu R, zobacz Jak zainstalować pakiet R). Po zainstalowaniu pakietu 8220TTR8221 R można załadować pakiet 8220TTR8221 R, wpisując: można użyć funkcji 8220SMA () 8221 do wygładzania danych serii czasowej. Aby użyć funkcji SMA (), należy określić kolejność (rozpiętość) prostej średniej ruchomej, używając parametru 8220n8221. Na przykład w celu obliczenia prostej średniej ruchomej rzędu 5, w funkcji SMA () n5. Na przykład, jak omówiono powyżej, seria czasów śmierci 42 kolejnych królów Anglii wydaje się nie-sezonowa, a prawdopodobnie może być opisana przy użyciu modelu addytywnego, ponieważ losowe fluktuacje danych są w przybliżeniu stale pod względem wielkości czas: W ten sposób możemy spróbować oszacować składową trendów w tej serii czasowej, wygładzając za pomocą prostej średniej ruchomej. Aby wygładzić cykl czasowy przy użyciu prostej średniej ruchomej rzędu 3 i wygładzić dane serii czasów wygładzonych, wpisujemy: ciągle wydaje się być dużo przypadkowych wahań w szeregach czasowych wygładzonych przy użyciu prostej średniej ruchomej rzędu 3. Zatem w celu bardziej dokładnego oszacowania składnika trendów, możemy spróbować wygładzić dane za pomocą prostej średniej ruchomej wyższego rzędu. Trwa to trochę prób i błędów, aby znaleźć odpowiednią ilość wygładzania. Na przykład możemy spróbować użyć prostej średniej ruchomej rzędu 8: Dane wygładzone za pomocą prostej średniej ruchomej rzędu 8 dają wyraźniejszy obraz składnika tendencji i możemy zobaczyć, że wiek śmierci niemieckich królów wydaje się zmniejszyły się z około 55 roku życia do około 38 lat w okresie panowania pierwszych 20 królów, a następnie wzrosły do około 73 lat pod koniec panowania 40. króla w serii czasowej. Dekompozycja danych sezonowych Sezonowa seria czasów składa się ze składnika tendencji, składnika sezonowego i składnika nieprawidłowego. Rozłożenie szeregów czasowych oznacza oddzielenie szeregów czasowych od tych trzech składników: oszacowanie tych trzech składników. Aby oszacować składnik trendu i składnik sezonowy serii sezonów czasowych, które można opisać przy użyciu modelu addytywnego, możemy użyć funkcji 8220decompose () 8221 w R. Ta funkcja szacuje trend, sezonowe i nieregularne składniki szeregów czasowych, które można opisać przy użyciu modelu dodatku. Funkcja 8220decompose () 8221 zwraca obiekt będący jego wynikiem, gdzie szacowane elementy sezonowe, składnik trendów i składnik nieregularny są przechowywane w nazwanych elementach obiektów list, nazywanych 8220seasonal8221, 8220trend8221 i 8220random8221. Na przykład, jak omówiono powyżej, seria czasowa liczby narodzin miesięcznie w Nowym Jorku jest sezonowa z szczytem każdego lata i koryta każdej zimy, a prawdopodobnie może być opisana przy użyciu modelu addytywnego, ponieważ sezonowe i przypadkowe wahania wydają się w przybliżeniu na stałym poziomie: Aby oszacować trend, sezonowe i nieregularne składniki tej serii czasowej, wpisujemy: Szacunkowe wartości sezonowych, trendu i nieregularnych składowych są teraz przechowywane w zmiennych czasach narodzinachpartnerowych, porodowych i czasach narodzinachpartnerowych. Na przykład możemy wydrukować szacunkowe wartości składnika sezonowego, wpisując: Szacunkowe czynniki sezonowe podane są w miesiącach od stycznia do grudnia i są takie same dla każdego roku. Największy czynnik sezonowy to lipiec (około 1,46), a najmniejszy w lutym (około -2,08), wskazując, że w lipcu wydaje się, że w lutym rocznie nastąpi szczyt w urodzinach i narasta w porach roku urodzenia. Możemy sprecyzować szacowany trend, sezonowy i nieregularny składnik szeregów czasowych za pomocą funkcji 8220plot () 8221, na przykład: wykres powyżej przedstawia początkowe szeregi czasowe (góra), szacowany składnik tendencji (drugi od góry), szacowany składnik sezonowy (trzecia z góry) i szacowany składnik nieregularny (na dole). Widzimy, że szacowany składnik tendencji wykazuje niewielki spadek z około 24 w 1947 r. Do około 22 w 1948 r., A następnie stały wzrost od tego czasu do około 27 w 1959 r. Dostosowywanie sezonowe Jeśli masz sezon sezonowy, który można opisać przy użyciu modelu dodatku, można sezonowo dostosować serie czasowe, oceniając składnik sezonowy i odejmując szacowany składnik sezonowy z serii pierwotnych. Możemy to zrobić używając oszacowania składnika sezonowego obliczonego za pomocą funkcji 8220decompose () 8221. Na przykład, aby sezonowo dostosować serię czasów liczby narodzin miesięcznie w mieście Nowy Jork, możemy oszacować składnik sezonowy przy użyciu 8220decompose () 8221, a następnie odjąć składnik sezonowy z serii oryginalnych: możemy wtedy sprecyzować szeregów czasowych dostosowanych sezonowo przy użyciu funkcji 8220plot () 8221, wpisując: można zauważyć, że sezonowość została usunięta z sezonów dostosowanych sezonowo. Sezonowo skorygowany szereg czasowy zawiera teraz składową trendu i elementem nieregularnym. Prognozy za pomocą wyrównywania wykładniczego (Exponential Smoothing) Wyrównywanie wykładnicze można wykorzystać do krótkoterminowych prognoz dla danych z serii czasowych. Proste wyrównywanie wyrównawcze Jeśli masz szeregi czasowe, które można opisać przy użyciu modelu addytywnego o stałym poziomie i bez sezonowości, możesz użyć prostego wyrównywania wykładniczego do krótkoterminowych prognoz. Prosta metoda wygładzania wykładniczego umożliwia oszacowanie poziomu w aktualnym punkcie czasowym. Wygładzanie jest kontrolowane przez parametr alfa dla oszacowania poziomu w aktualnym punkcie czasowym. Wartość alfa leży w przedziale od 0 do 1. Wartości alfa zbliżone do 0 oznaczają, że przy prognozowaniu przyszłych wartości niewielka masa jest umieszczana na najnowszych obserwacjach. Na przykład plik robjhyndmantsdldatahurstprecip1.dat zawiera całkowite roczny opad deszczu w Londynie w latach 1813-1912 (oryginalne dane z Hipel i McLeod, 1994). Możemy odczytywać dane w R i spisać je, wpisując: na wykresie widać, że jest to stały poziom (średnia wynosi około 25 cali). Losowe wahania w szeregach czasowych wydają się mieć stałą wielkość w miarę upływu czasu, więc właściwe jest opisanie danych przy użyciu modelu dodatku. Możemy więc tworzyć prognozy za pomocą prostego wygładzania wykładniczego. Aby dokonać prognoz przy użyciu prostego wyrównania wykładniczego w R, możemy dopasować prosty wykładnik wyrównujący predykcyjny wygładzanie za pomocą funkcji 8220HoltWinters () 8221 w R. Aby użyć programu HoltWinters () do prostego wygładzania wykładniczego, należy ustawić parametry betaFALSE i gammaFALSE w Funkcja HoltWinters () (parametry beta i gamma używane są do wygładzania wykładniczego Holt8217s lub wygładzania wykładniczego Holt-Wintersa, jak opisano poniżej). Funkcja HoltWinters () zwraca zmienną z listą zawierającą kilka nazwanych elementów. Na przykład, aby użyć prostego wyrównania wykładniczego do prognozowania szeregów czasowych rocznych opadów deszczu w Londynie, wpiszemy: Wyjście HoltWinters () informuje nas, że szacowana wartość parametru alfa wynosi około 0,024. Jest to bardzo bliska zeru, informując, że prognozy opierają się zarówno na niedawnych, jak i niedawnych obserwacjach (chociaż w ostatnich obserwacjach nieco większą wagę). Domyślnie program HoltWinters () po prostu generuje prognozy w tym samym przedziale czasowym objętym oryginalnymi seriami czasowymi. W tym przypadku w naszych oryginalnych cyklach czasowych pojawiły się opady deszczu w Londynie w latach 1813-1912, a więc prognozy również w latach 1813-1912. W powyższym przykładzie zapisaliśmy wynik funkcji HoltWinters () w zmiennej listowej 8220rainseriesforecasts8221. Prognozy wykonane przez HoltWinters () są przechowywane w nazwanym elemencie tej zmiennej listy o nazwie 8220fitted8221, dzięki czemu możemy uzyskać ich wartości poprzez wpisanie: możemy wydrukować serie czasów oryginalnych w stosunku do prognoz, wpisując: wykres pokazuje oryginalną serię czasową czarny i prognozy jako czerwona linia. Seria prognoz czasowych jest dużo płynniejsza niż szereg czasowy oryginalnych danych. Jako miarę dokładności prognoz możemy obliczyć sumę kwadratów błędów w przypadku błędów prognozowanych w próbce, czyli błędów prognozy dla okresu objętego pierwotną serią czasową. Błędy sumy kwadratów są przechowywane w nazwanym elemencie zmiennej listy 8220rainseriesforecasts8221 o nazwie 8220SSE8221, dzięki czemu możemy uzyskać jego wartość, wpisując: Oto błędy sumy kwadratów to 1828.855. Jest to powszechne w prostym wyrównaniu wykładniczym, aby używać pierwszej wartości w serii czasowej jako wartości początkowej dla poziomu. Na przykład w serii czasowej dla opadów deszczu w Londynie pierwsza wartość to 23.56 cali dla opadów deszczu w 1813 roku. Wartość parametru poziomu w funkcji HoltWinters () można określić przy użyciu parametru 8220l. start8221. Na przykład, aby wprowadzić prognozy z wartością początkową poziomu ustawionego na 23.56, wpiszemy: Jak wyjaśniono powyżej, domyślnie HoltWinters () po prostu podaje prognozy dla okresu objętego pierwotnymi danymi, które jest 1813-1912 dla opadów deszczu szereg czasowy. Możemy prognozować kolejne punkty czasowe, korzystając z funkcji 8220forecast. HoltWinters () 8221 w pakiecie R 8220forecast8221. Aby skorzystać z funkcji forecast. HoltWinters (), musimy najpierw zainstalować pakiet 8220forecast8221 R (instrukcje dotyczące instalowania pakietu R znajdują się w artykule Jak zainstalować pakiet R). Po zainstalowaniu pakietu 8220forecast8221 R można załadować pakiet 8220forecast8221 R, wpisując: Podczas korzystania z funkcji forecast. HoltWinters (), jako swojego pierwszego argumentu (wejścia), przekazujesz model predykcyjny, który został już zainstalowany przy użyciu Funkcja HoltWinters (). Na przykład w przypadku serii opadów deszczu przechowywaliśmy model predykcyjny wykonany przy użyciu metody HoltWinters () w zmiennej 8220rainseriesforecasts8221. Określasz, ile kolejnych punktów czasowych chcesz wprowadzić do prognoz przy użyciu parametru 8220h8221 w prognozie. HoltWinters (). Na przykład, aby prognozować opady deszczu na lata 1814-1820 (kolejne 8 lat) przy użyciu prognozy. HoltWinters (), wpisujemy: funkcja forecast. HoltWinters () przewiduje prognozę na rok, 80 przedział przewidywania dla prognozy i 95 przedziału przewidywania dla prognozy. Na przykład przewidywane opady deszczu na rok 1920 wynoszą około 24,68 cali, z 95 przedziałami przewidywania (16,24, 33,11). Aby wykreślić prognozy wykonane przez prognozę. HoltWinters (), możemy użyć funkcji 8221plot. forecast () 8221: tutaj prognozy na lata 1913-1920 są oznaczone jako niebieska linia, 80 przedział przewidywania jako pomarańczowy zacieniony obszar, a 95 przedziału predykcji jako żółtego zacienionego obszaru. Błędy 8216forecasta8217 są obliczane jako wartości obserwowane pomniejszone o przewidywane wartości, dla każdego punktu czasowego. Możemy obliczyć tylko błędy prognozy dla okresu objętego pierwotną serią czasową, która wynosi 1813-1912 dla danych opadów deszczu. Jak wspomniano powyżej, jedną miarą dokładności modelu predykcyjnego są sumy kwadratów (SSE) dla błędów prognozowanych w próbce. Błędy prognozowania w próbce są przechowywane w elemencie o nazwie 8220residual8221 zmiennej listy zwróconej przez prognozę. HoltWinters (). Jeśli nie można poprawić modelu predykcyjnego, nie powinno być korelacji pomiędzy błędami prognozy dla kolejnych prognoz. Innymi słowy, jeśli istnieje prawdopodobieństwo korelacji między błędami prognozy dla kolejnych prognoz, prawdopodobnie prawdopodobne może być poprawienie prostych prognoz wygładzania wykładniczego za pomocą innej techniki prognozowania. Aby dowiedzieć się, czy jest to przypadek, możemy uzyskać korelację błędów prognozowanych w przypadku próbek dla opóźnień 1-20. Możemy obliczyć korelację błędów prognozy za pomocą funkcji 8220acf () 8221 w R. Aby określić maksymalny czas opóźnienia, na który chcemy się przyjrzeć, w acf () używamy parametru 8220lag. max8221. Na przykład, aby wyliczyć korelogram błędu prognozowania w próbce dla danych opadów londyńskich o opóźnieniach 1-20, wpiszemy: z przykładowego regresji, że autokorelacja w punkcie 3 tylko dotyka granic istotnych. Aby sprawdzić, czy istnieją znaczące dowody na niezerowe korelacje w przypadku opóźnień 1-20, możemy przeprowadzić test Ljung-Box. Można to zrobić w R przy użyciu funkcji 8220Box. test () 8221. Maksymalne opóźnienie, które chcemy obejrzeć, jest określone przy użyciu parametru 8220lag8221 w funkcji Box. test (). Na przykład, aby sprawdzić, czy występują niezerowe autokorelacje w przypadku opóźnień 1-20, w przypadku błędów prognozy w przypadku danych o opadach w Londynie wpisujemy: W tym przypadku statystyka testowa Ljung-Box wynosi 17,4, a wartość p wynosi 0,6 , więc niewiele wskazuje na niezerowe autokorelacje w błędach prognozowania próbek w przypadku opóźnień 1-20. Aby mieć pewność, że nie można poprawić modelu predykcyjnego, dobrze jest sprawdzić, czy błędy prognozy są normalnie rozprowadzane ze średnią zerową i stałą odmiennością. Aby sprawdzić, czy błędy prognozy mają stałą odmianę, możemy sporządzić wykresy czasowe błędów prognozowanych w próbce: wykres pokazuje, że błędy prognozowania w próbce wydają się mieć stałą zmienność w czasie, chociaż wielkość wahań w początek serii czasowej (1820-1830) może być nieco mniejszy niż w późniejszych datach (np. 1840-1850). Aby sprawdzić, czy błędy prognozy są normalnie rozprowadzone ze średnim zerem, możemy wydrukować histogram błędów prognozy, przy czym pokrywa normalna krzywa, która ma średnie zera i takie same odchylenia standardowe, co rozkład błędów prognozy. W tym celu możemy zdefiniować funkcję R 8220plotForecastErrors () 8221 poniżej: Będziesz musiał skopiować powyższą funkcję do R, aby ją użyć. Następnie można użyć plotForecastErrors () do wykreślania histogramu (z pokrytą krzywą normalną) prognozowanych błędów w prognozach opadów deszczu: wykres pokazuje, że rozkład błędów prognozy jest mniej więcej skupiony na zerze i jest mniej lub bardziej rozproszony, chociaż to wydaje się być lekko pochylony na prawo w porównaniu do normalnej krzywej. Jednak prawy skośny jest stosunkowo niewielki i dlatego jest prawdopodobne, że błędy prognozy są normalnie rozłożone ze średnim zerem. Badanie Ljung-Box wykazało, że w błędach prognozowanych w próbce występują niewiele dowodów na niezerowe autokorelacje, a rozkład błędów prognozy wydaje się normalnie rozprowadzony ze średnim zerem. To sugeruje, że prosta metoda wyrównywania wykładniczego stanowi odpowiedni model predykcyjny dla londyńskich opadów, których prawdopodobnie nie można poprawić. Ponadto założyliśmy, że 80 i 95 przewidywanych interwałów są uzasadnione (że w błędach prognozy nie występują autokorelacje, a błędy prognozowane są zwykle rozkładem średniej zera i stałej wariancji). Wygładzanie wykładnicze Holt8217s Jeśli masz szereg czasowy, który można opisać przy użyciu modelu addytywnego z tendencją rosnącą lub malejącą i nie ma sezonowości, możesz użyć wygładzania wykładniczego Holt8217s w celu krótkoterminowych prognoz. Wyrównanie wykładnicze Holt8217s szacuje poziom i nachylenie w bieżącym punkcie czasowym. Wygładzanie jest kontrolowane przez dwa parametry, alfa, dla oszacowania poziomu w bieżącym punkcie czasowym, a beta dla oszacowania nachylenia b składnika tendencji w bieżącym punkcie czasowym. Podobnie jak w przypadku prostego wygładzania wykładniczego, parametry alfa i beta mają wartości od 0 do 1, a wartości bliskie 0 oznaczają, że przy prognozowaniu przyszłych wartości niewielką wagę przywiązuje się do najnowszych obserwacji. Przykład serii czasów, która prawdopodobnie zostanie opisana przy użyciu modelu addytywnego z tendencją i sezonem nie jest serią czasową rocznej średnicy spódniczek kobiet w latach 1866 do 1911. Dane są dostępne w pliku robjhyndmantsdldatarobertsskirts. dat (oryginalne dane z Hipel i McLeod, 1994). Możemy odczytać i wydrukować dane w R, wpisując: widać z wykresu, że wzrost średnicy od około 600 w 1866 r. Do około 1050 w 1880 r. I że potem średnica hemu zmniejszyła się do około 520 w 1911 r. Aby wykonać prognozy, możemy użyć modelu predykcyjnego przy użyciu funkcji HoltWinters () w R. Aby użyć funkcji HoltWinters () do wygładzania wykładniczego Holt8217s, należy ustawić parametr gammaFALSE (parametr gamma jest używany do wygładzania wykładniczego Holt-Wintersa, Jak opisano poniżej). Na przykład, aby użyć wyrównania wykładniczego Holt8217s w celu dopasowania modelu predykcyjnego do średnicy trzpienia, wpisujemy: Szacunkowa wartość alfa wynosi 0,84, a beta - 1,00. Są to zarówno wysokie, informując, że zarówno oszacowanie bieżącej wartości poziomu, jak i nachylenia b składnika tendencji są oparte głównie na bardzo niedawnych obserwacjach w serii czasowych. To sprawia dobre wrażenie intuicyjne, ponieważ poziom i nachylenie szeregów czasowych zmieniają się dosyć z czasem. Wartość błędów sumy kwadratów dla błędów prognozowanych w próbce wynosi 16954. Możemy wydrukować serie czasów oryginalnych jako czarną linię, z prognozowanymi wartościami jako czerwoną linią na górze tego, wpisując: widać na rysunku, że prognozy dla próbek zgadzają się całkiem dobrze z obserwowanymi wartościami, choć zazwyczaj mają tendencję do opóźnienia za obserwowanymi wartościami. Jeśli chcesz, możesz określić początkowe wartości poziomu i nachylenia b składnika trendu, korzystając z argumentów 8220l. start8221 i 8220b. start8221 dla funkcji HoltWinters (). Zwykle ustalana jest początkowa wartość poziomu do pierwszej wartości w serii czasowej (608 dla danych spódnic), a wartość początkowa nachylenia do drugiej wartości minus pierwsza wartość (9 dla danych spódnic). Na przykład, aby dopasować model predykcyjny do danych osłony za pomocą wyrównania wykładniczego Holt8217s, przy początkowych wartościach 608 dla poziomu i 9 dla nachylenia b składnika trendu, wpiszemy: Jeśli chodzi o proste wyrównywanie wykładnicze, możemy przewidzieć dla przyszłych czasów nieobjętych pierwotną serią czasową przy użyciu funkcji forecast. HoltWinters () w pakiecie 8220forecast8221. Na przykład nasze dane z serii czasowej na haczyki spódnicowe miały miejsce w latach 1866-1911, więc możemy przewidzieć od 1912 do 1930 (19 dodatkowych punktów danych) i spiskować je, wpisując: prognozy są wyświetlane jako niebieska linia, a 80 przedziałów przewidywania jako pomarańczowy zacieniony obszar, a 95 przedziałów przewidywania jako żółtego zacienionego obszaru. Jeśli chodzi o proste wyrównywanie wykładnicze, możemy sprawdzić, czy model predykcyjny można poprawić, sprawdzając, czy błędy prognozy w próbce wykazują niezerowe autokorelacje w przypadku opóźnień 1-20. Na przykład w przypadku danych z spódnicą możemy wykonać korespondencję i przeprowadzić test Ljung-Box, wpisując: Oto kod korespondencji wskazuje, że autokorelacja próbki dla błędów prognozowanych w próbce w punkcie opóźnienia 5 przekracza znaczące granice. Spodziewamy się jednak, że jedna na 20 autokorelacji w pierwszych dwudziestu opcjach może przekroczyć 95 wartościowych ograniczeń przypadkowo. Naprawdę, gdy przeprowadzamy test Ljung-Box, wartość p wynosi 0,47, co wskazuje, że w błędach prognozowanych w przypadku próbek w przypadku opóźnień 1-20 nie ma żadnych dowodów na niezerowe autokorelacje. Jeśli chodzi o prosty wygładzanie wykładnicze, należy również sprawdzić, czy błędy prognozy mają stałą zależność od czasu i są zwykle rozdzielane ze średnim zerem. Możemy to zrobić, tworząc wykres czasowy błędów prognozy oraz histogram rozkładu błędów prognozowanych z nałożoną krzywą normalną: wykres czasowy błędów prognozy wskazuje, że błędy prognozy mają stałą różnicę w czasie. Histogram błędów prognozuje, że prawdopodobne jest, że błędy prognozy są zazwyczaj rozdzielane ze średnią zerową i stałą odchyleniem. Zatem test Ljung-Box wykazuje, że w błędach prognozy występują niewiele dowodów na autokorelacje, podczas gdy wykres czasowy i histogram błędów prognoz pokazują, że prawdopodobne jest, że błędy prognozy są normalnie rozprowadzane ze średnią zerową i stałą odchyleniem. Dlatego możemy wyciągnąć wniosek, że wygładzanie wykładnicze Holt8217s zapewnia odpowiedni model predykcyjny średnic osłony, których prawdopodobnie nie można poprawić. Ponadto oznacza to, że przypuszczenia, że założenia, na podstawie których przewidywano odstępy 80 i 95, są prawdopodobnie ważne. Wygładzanie wykładnicze Holt-Winters Jeśli masz szeregi czasowe, które można opisać przy użyciu modelu addytywnego ze wzrastającym lub malejącym trendem i sezonowością, można użyć wygładzania wykładniczego Holt-Winters w celu krótkoterminowych prognoz. Wyrównywanie wykładnicze Holt-Winters szacuje poziom, nachylenie i składnik sezonowy w aktualnym punkcie czasowym. Wygładzanie jest kontrolowane przez trzy parametry: alfa, beta i gamma, dla oszacowania poziomu, nachylenia b składnika tendencji i składnika sezonowego w bieżącym punkcie czasowym. The parameters alpha, beta and gamma all have values between 0 and 1, and values that are close to 0 mean that relatively little weight is placed on the most recent observations when making forecasts of future values. An example of a time series that can probably be described using an additive model with a trend and seasonality is the time series of the log of monthly sales for the souvenir shop at a beach resort town in Queensland, Australia (discussed above): To make forecasts, we can fit a predictive model using the HoltWinters() function. For example, to fit a predictive model for the log of the monthly sales in the souvenir shop, we type: The estimated values of alpha, beta and gamma are 0.41, 0.00, and 0.96, respectively. The value of alpha (0.41) is relatively low, indicating that the estimate of the level at the current time point is based upon both recent observations and some observations in the more distant past. The value of beta is 0.00, indicating that the estimate of the slope b of the trend component is not updated over the time series, and instead is set equal to its initial value. This makes good intuitive sense, as the level changes quite a bit over the time series, but the slope b of the trend component remains roughly the same. In contrast, the value of gamma (0.96) is high, indicating that the estimate of the seasonal component at the current time point is just based upon very recent observations. As for simple exponential smoothing and Holt8217s exponential smoothing, we can plot the original time series as a black line, with the forecasted values as a red line on top of that: We see from the plot that the Holt-Winters exponential method is very successful in predicting the seasonal peaks, which occur roughly in November every year. To make forecasts for future times not included in the original time series, we use the 8220forecast. HoltWinters()8221 function in the 8220forecast8221 package. For example, the original data for the souvenir sales is from January 1987 to December 1993. If we wanted to make forecasts for January 1994 to December 1998 (48 more months), and plot the forecasts, we would type: The forecasts are shown as a blue line, and the orange and yellow shaded areas show 80 and 95 prediction intervals, respectively. We can investigate whether the predictive model can be improved upon by checking whether the in-sample forecast errors show non-zero autocorrelations at lags 1-20, by making a correlogram and carrying out the Ljung-Box test: The correlogram shows that the autocorrelations for the in-sample forecast errors do not exceed the significance bounds for lags 1-20. Furthermore, the p-value for Ljung-Box test is 0.6, indicating that there is little evidence of non-zero autocorrelations at lags 1-20. We can check whether the forecast errors have constant variance over time, and are normally distributed with mean zero, by making a time plot of the forecast errors and a histogram (with overlaid normal curve): From the time plot, it appears plausible that the forecast errors have constant variance over time. From the histogram of forecast errors, it seems plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero. Thus, there is little evidence of autocorrelation at lags 1-20 for the forecast errors, and the forecast errors appear to be normally distributed with mean zero and constant variance over time. This suggests that Holt-Winters exponential smoothing provides an adequate predictive model of the log of sales at the souvenir shop, which probably cannot be improved upon. Furthermore, the assumptions upon which the prediction intervals were based are probably valid. ARIMA Models Exponential smoothing methods are useful for making forecasts, and make no assumptions about the correlations between successive values of the time series. However, if you want to make prediction intervals for forecasts made using exponential smoothing methods, the prediction intervals require that the forecast errors are uncorrelated and are normally distributed with mean zero and constant variance. While exponential smoothing methods do not make any assumptions about correlations between successive values of the time series, in some cases you can make a better predictive model by taking correlations in the data into account. Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) models include an explicit statistical model for the irregular component of a time series, that allows for non-zero autocorrelations in the irregular component. Differencing a Time Series ARIMA models are defined for stationary time series. Therefore, if you start off with a non-stationary time series, you will first need to 8216difference8217 the time series until you obtain a stationary time series. If you have to difference the time series d times to obtain a stationary series, then you have an ARIMA(p, d,q) model, where d is the order of differencing used. You can difference a time series using the 8220diff()8221 function in R. For example, the time series of the annual diameter of women8217s skirts at the hem, from 1866 to 1911 is not stationary in mean, as the level changes a lot over time: We can difference the time series (which we stored in 8220skirtsseries8221, see above) once, and plot the differenced series, by typing: The resulting time series of first differences (above) does not appear to be stationary in mean. Therefore, we can difference the time series twice, to see if that gives us a stationary time series: Formal tests for stationarity Formal tests for stationarity called 8220unit root tests8221 are available in the fUnitRoots package, available on CRAN, but will not be discussed here. The time series of second differences (above) does appear to be stationary in mean and variance, as the level of the series stays roughly constant over time, and the variance of the series appears roughly constant over time. Thus, it appears that we need to difference the time series of the diameter of skirts twice in order to achieve a stationary series. If you need to difference your original time series data d times in order to obtain a stationary time series, this means that you can use an ARIMA(p, d,q) model for your time series, where d is the order of differencing used. For example, for the time series of the diameter of women8217s skirts, we had to difference the time series twice, and so the order of differencing (d) is 2. This means that you can use an ARIMA(p,2,q) model for your time series. The next step is to figure out the values of p and q for the ARIMA model. Another example is the time series of the age of death of the successive kings of England (see above): From the time plot (above), we can see that the time series is not stationary in mean. To calculate the time series of first differences, and plot it, we type: The time series of first differences appears to be stationary in mean and variance, and so an ARIMA(p,1,q) model is probably appropriate for the time series of the age of death of the kings of England. By taking the time series of first differences, we have removed the trend component of the time series of the ages at death of the kings, and are left with an irregular component. We can now examine whether there are correlations between successive terms of this irregular component if so, this could help us to make a predictive model for the ages at death of the kings. Selecting a Candidate ARIMA Model If your time series is stationary, or if you have transformed it to a stationary time series by differencing d times, the next step is to select the appropriate ARIMA model, which means finding the values of most appropriate values of p and q for an ARIMA(p, d,q) model. To do this, you usually need to examine the correlogram and partial correlogram of the stationary time series. To plot a correlogram and partial correlogram, we can use the 8220acf()8221 and 8220pacf()8221 functions in R, respectively. To get the actual values of the autocorrelations and partial autocorrelations, we set 8220plotFALSE8221 in the 8220acf()8221 and 8220pacf()8221 functions. Example of the Ages at Death of the Kings of England For example, to plot the correlogram for lags 1-20 of the once differenced time series of the ages at death of the kings of England, and to get the values of the autocorrelations, we type: We see from the correlogram that the autocorrelation at lag 1 (-0.360) exceeds the significance bounds, but all other autocorrelations between lags 1-20 do not exceed the significance bounds. To plot the partial correlogram for lags 1-20 for the once differenced time series of the ages at death of the English kings, and get the values of the partial autocorrelations, we use the 8220pacf()8221 function, by typing: The partial correlogram shows that the partial autocorrelations at lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, are negative, and are slowly decreasing in magnitude with increasing lag (lag 1: -0.360, lag 2: -0.335, lag 3:-0.321). The partial autocorrelations tail off to zero after lag 3. Since the correlogram is zero after lag 1, and the partial correlogram tails off to zero after lag 3, this means that the following ARMA (autoregressive moving average) models are possible for the time series of first differences: an ARMA(3,0) model, that is, an autoregressive model of order p3, since the partial autocorrelogram is zero after lag 3, and the autocorrelogram tails off to zero (although perhaps too abruptly for this model to be appropriate) an ARMA(0,1) model, that is, a moving average model of order q1, since the autocorrelogram is zero after lag 1 and the partial autocorrelogram tails off to zero an ARMA(p, q) model, that is, a mixed model with p and q greater than 0, since the autocorrelogram and partial correlogram tail off to zero (although the correlogram probably tails off to zero too abruptly for this model to be appropriate) We use the principle of parsimony to decide which model is best: that is, we assum e that the model with the fewest parameters is best. The ARMA(3,0) model has 3 parameters, the ARMA(0,1) model has 1 parameter, and the ARMA(p, q) model has at least 2 parameters. Therefore, the ARMA(0,1) model is taken as the best model. An ARMA(0,1) model is a moving average model of order 1, or MA(1) model. This model can be written as: Xt - mu Zt - (theta Zt-1), where Xt is the stationary time series we are studying (the first differenced series of ages at death of English kings), mu is the mean of time series Xt, Zt is white noise with mean zero and constant variance, and theta is a parameter that can be estimated. A MA (moving average) model is usually used to model a time series that shows short-term dependencies between successive observations. Intuitively, it makes good sense that a MA model can be used to describe the irregular component in the time series of ages at death of English kings, as we might expect the age at death of a particular English king to have some effect on the ages at death of the next king or two, but not much effect on the ages at death of kings that reign much longer after that. Shortcut: the auto. arima() function The auto. arima() function can be used to find the appropriate ARIMA model, eg. type 8220library(forecast)8221, then 8220auto. arima(kings)8221. The output says an appropriate model is ARIMA(0,1,1). Since an ARMA(0,1) model (with p0, q1) is taken to be the best candidate model for the time series of first differences of the ages at death of English kings, then the original time series of the ages of death can be modelled using an ARIMA(0,1,1) model (with p0, d1, q1, where d is the order of differencing required). Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere Let8217s take another example of selecting an appropriate ARIMA model. The file file robjhyndmantsdldataannualdvi. dat contains data on the volcanic dust veil index in the northern hemisphere, from 1500-1969 (original data from Hipel and Mcleod, 1994). This is a measure of the impact of volcanic eruptions8217 release of dust and aerosols into the environment. We can read it into R and make a time plot by typing: From the time plot, it appears that the random fluctuations in the time series are roughly constant in size over time, so an additive model is probably appropriate for describing this time series. Furthermore, the time series appears to be stationary in mean and variance, as its level and variance appear to be roughly constant over time. Therefore, we do not need to difference this series in order to fit an ARIMA model, but can fit an ARIMA model to the original series (the order of differencing required, d, is zero here). We can now plot a correlogram and partial correlogram for lags 1-20 to investigate what ARIMA model to use: We see from the correlogram that the autocorrelations for lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, and that the autocorrelations tail off to zero after lag 3. The autocorrelations for lags 1, 2, 3 are positive, and decrease in magnitude with increasing lag (lag 1: 0.666, lag 2: 0.374, lag 3: 0.162). The autocorrelation for lags 19 and 20 exceed the significance bounds too, but it is likely that this is due to chance, since they just exceed the significance bounds (especially for lag 19), the autocorrelations for lags 4-18 do not exceed the signifiance bounds, and we would expect 1 in 20 lags to exceed the 95 significance bounds by chance alone. From the partial autocorrelogram, we see that the partial autocorrelation at lag 1 is positive and exceeds the significance bounds (0.666), while the partial autocorrelation at lag 2 is negative and also exceeds the significance bounds (-0.126). The partial autocorrelations tail off to zero after lag 2. Since the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2, the following ARMA models are possible for the time series: an ARMA(2,0) model, since the partial autocorrelogram is zero after lag 2, and the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2 an ARMA(0,3) model, since the autocorrelogram is zero after lag 3, and the partial correlogram tails off to zero (although perhaps too abruptly for this model to be appropriate) an ARMA(p, q) mixed model, since the correlogram and partial correlogram tail off to zero (although the partial correlogram perhaps tails off too abruptly for this model to be appropriate) Shortcut: the auto. arima() function Again, we can use auto. arima() to find an appropriate model, by typing 8220auto. arima(volcanodust)8221, which gives us ARIMA(1,0,2), which has 3 parameters. However, different criteria can be used to select a model (see auto. arima() help page). If we use the 8220bic8221 criterion, which penalises the number of parameters, we get ARIMA(2,0,0), which is ARMA(2,0): 8220auto. arima(volcanodust, ic8221bic8221)8221. The ARMA(2,0) model has 2 parameters, the ARMA(0,3) model has 3 parameters, and the ARMA(p, q) model has at least 2 parameters. Therefore, using the principle of parsimony, the ARMA(2,0) model and ARMA(p, q) model are equally good candidate models. An ARMA(2,0) model is an autoregressive model of order 2, or AR(2) model. This model can be written as: Xt - mu (Beta1 (Xt-1 - mu)) (Beta2 (Xt-2 - mu)) Zt, where Xt is the stationary time series we are studying (the time series of volcanic dust veil index), mu is the mean of time series Xt, Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated, and Zt is white noise with mean zero and constant variance. An AR (autoregressive) model is usually used to model a time series which shows longer term dependencies between successive observations. Intuitively, it makes sense that an AR model could be used to describe the time series of volcanic dust veil index, as we would expect volcanic dust and aerosol levels in one year to affect those in much later years, since the dust and aerosols are unlikely to disappear quickly. If an ARMA(2,0) model (with p2, q0) is used to model the time series of volcanic dust veil index, it would mean that an ARIMA(2,0,0) model can be used (with p2, d0, q0, where d is the order of differencing required). Similarly, if an ARMA(p, q) mixed model is used, where p and q are both greater than zero, than an ARIMA(p,0,q) model can be used. Forecasting Using an ARIMA Model Once you have selected the best candidate ARIMA(p, d,q) model for your time series data, you can estimate the parameters of that ARIMA model, and use that as a predictive model for making forecasts for future values of your time series. You can estimate the parameters of an ARIMA(p, d,q) model using the 8220arima()8221 function in R. Example of the Ages at Death of the Kings of England For example, we discussed above that an ARIMA(0,1,1) model seems a plausible model for the ages at deaths of the kings of England. You can specify the values of p, d and q in the ARIMA model by using the 8220order8221 argument of the 8220arima()8221 function in R. To fit an ARIMA(p, d,q) model to this time series (which we stored in the variable 8220kingstimeseries8221, see above), we type: As mentioned above, if we are fitting an ARIMA(0,1,1) model to our time series, it means we are fitting an an ARMA(0,1) model to the time series of first differences. An ARMA(0,1) model can be written Xt - mu Zt - (theta Zt-1), where theta is a parameter to be estimated. From the output of the 8220arima()8221 R function (above), the estimated value of theta (given as 8216ma18217 in the R output) is -0.7218 in the case of the ARIMA(0,1,1) model fitted to the time series of ages at death of kings. Specifying the confidence level for prediction intervals You can specify the confidence level for prediction intervals in forecast. Arima() by using the 8220level8221 argument. For example, to get a 99.5 prediction interval, we would type 8220forecast. Arima(kingstimeseriesarima, h5, levelc(99.5))8221. We can then use the ARIMA model to make forecasts for future values of the time series, using the 8220forecast. Arima()8221 function in the 8220forecast8221 R package. For example, to forecast the ages at death of the next five English kings, we type: The original time series for the English kings includes the ages at death of 42 English kings. The forecast. Arima() function gives us a forecast of the age of death of the next five English kings (kings 43-47), as well as 80 and 95 prediction intervals for those predictions. The age of death of the 42nd English king was 56 years (the last observed value in our time series), and the ARIMA model gives the forecasted age at death of the next five kings as 67.8 years. We can plot the observed ages of death for the first 42 kings, as well as the ages that would be predicted for these 42 kings and for the next 5 kings using our ARIMA(0,1,1) model, by typing: As in the case of exponential smoothing models, it is a good idea to investigate whether the forecast errors of an ARIMA model are normally distributed with mean zero and constant variance, and whether the are correlations between successive forecast errors. For example, we can make a correlogram of the forecast errors for our ARIMA(0,1,1) model for the ages at death of kings, and perform the Ljung-Box test for lags 1-20, by typing: Since the correlogram shows that none of the sample autocorrelations for lags 1-20 exceed the significance bounds, and the p-value for the Ljung-Box test is 0.9, we can conclude that there is very little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors at lags 1-20. To investigate whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we can make a time plot and histogram (with overlaid normal curve) of the forecast errors: The time plot of the in-sample forecast errors shows that the variance of the forecast errors seems to be roughly constant over time (though perhaps there is slightly higher variance for the second half of the time series). The histogram of the time series shows that the forecast errors are roughly normally distributed and the mean seems to be close to zero. Therefore, it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Since successive forecast errors do not seem to be correlated, and the forecast errors seem to be normally distributed with mean zero and constant variance, the ARIMA(0,1,1) does seem to provide an adequate predictive model for the ages at death of English kings. Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere We discussed above that an appropriate ARIMA model for the time series of volcanic dust veil index may be an ARIMA(2,0,0) model. To fit an ARIMA(2,0,0) model to this time series, we can type: As mentioned above, an ARIMA(2,0,0) model can be written as: written as: Xt - mu (Beta1 (Xt-1 - mu)) (Beta2 (Xt-2 - mu)) Zt, where Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated. The output of the arima() function tells us that Beta1 and Beta2 are estimated as 0.7533 and -0.1268 here (given as ar1 and ar2 in the output of arima()). Now we have fitted the ARIMA(2,0,0) model, we can use the 8220forecast. ARIMA()8221 model to predict future values of the volcanic dust veil index. The original data includes the years 1500-1969. To make predictions for the years 1970-2000 (31 more years), we type: We can plot the original time series, and the forecasted values, by typing: One worrying thing is that the model has predicted negative values for the volcanic dust veil index, but this variable can only have positive values The reason is that the arima() and forecast. Arima() functions don8217t know that the variable can only take positive values. Clearly, this is not a very desirable feature of our current predictive model. Again, we should investigate whether the forecast errors seem to be correlated, and whether they are normally distributed with mean zero and constant variance. To check for correlations between successive forecast errors, we can make a correlogram and use the Ljung-Box test: The correlogram shows that the sample autocorrelation at lag 20 exceeds the significance bounds. However, this is probably due to chance, since we would expect one out of 20 sample autocorrelations to exceed the 95 significance bounds. Furthermore, the p-value for the Ljung-Box test is 0.2, indicating that there is little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors for lags 1-20. To check whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we make a time plot of the forecast errors, and a histogram: The time plot of forecast errors shows that the forecast errors seem to have roughly constant variance over time. However, the time series of forecast errors seems to have a negative mean, rather than a zero mean. We can confirm this by calculating the mean forecast error, which turns out to be about -0.22: The histogram of forecast errors (above) shows that although the mean value of the forecast errors is negative, the distribution of forecast errors is skewed to the right compared to a normal curve. Therefore, it seems that we cannot comfortably conclude that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance Thus, it is likely that our ARIMA(2,0,0) model for the time series of volcanic dust veil index is not the best model that we could make, and could almost definitely be improved upon Links and Further Reading Here are some links for further reading. For a more in-depth introduction to R, a good online tutorial is available on the 8220Kickstarting R8221 website, cran. r-project. orgdoccontribLemon-kickstart . There is another nice (slightly more in-depth) tutorial to R available on the 8220Introduction to R8221 website, cran. r-project. orgdocmanualsR-intro. html . You can find a list of R packages for analysing time series data on the CRAN Time Series Task View webpage . To learn about time series analysis, I would highly recommend the book 8220Time series8221 (product code M24902) by the Open University, available from the Open University Shop . There are two books available in the 8220Use R8221 series on using R for time series analyses, the first is Introductory Time Series with R by Cowpertwait and Metcalfe, and the second is Analysis of Integrated and Cointegrated Time Series with R by Pfaff. Acknowledgements I am grateful to Professor Rob Hyndman. for kindly allowing me to use the time series data sets from his Time Series Data Library (TSDL) in the examples in this booklet. Many of the examples in this booklet are inspired by examples in the excellent Open University book, 8220Time series8221 (product code M24902), available from the Open University Shop . Thank you to Ravi Aranke for bringing auto. arima() to my attention, and Maurice Omane-Adjepong for bringing unit root tests to my attention, and Christian Seubert for noticing a small bug in plotForecastErrors(). Thank you for other comments to Antoine Binard and Bill Johnston. I will be grateful if you will send me (Avril Coghlan) corrections or suggestions for improvements to my email address alc 64 sanger 46 ac 46 uk
No comments:
Post a Comment