Frakcjonalno browanowa ruchoma średnia

Silne przybliżenie ułamkowego ruchu Browna poprzez przesuwanie średnich prostych spacerów przypadkowych Paacutel Reacuteveacutesz z okazji 65. urodzin Tamaacutes Szabados Wydział Matematyki Politechniki w Budapeszcie, Egry u 20-22, H eacutep. V em. Budapeszt, 1521, Węgry, otrzymany 19 grudnia 1999 r., Poprawiony 29 sierpnia 2000 r., Zatwierdzony 4 września 2000 r., Dostępny online 9 lutego 2001 r. Ułamkowy ruch Browna jest uogólnieniem zwykłego ruchu Browna, stosowanym zwłaszcza w przypadku, gdy wymagana jest zależność od dalekiego zasięgu. Jego wyraźne wprowadzenie jest spowodowane Mandelbrot i van Ness (SIAM Rev. 10 (1968) 422) jako samopodobny proces Gaussa W (H) (t) ze stacjonarnymi przyrostami. Tutaj samo-podobieństwo oznacza to. gdzie H isin (0,1) jest parametrem Hurst ułamkowego ruchu Browna. PEŁNE WYŻYWIENIE. W 1961 r. Knight wydał konstrukcję zwykłego ruchu Browna jako limit prostych spacerów przypadkowych. Później jego metodę uprościł Reacuteveacutesz (Random Walk w losowych i nie losowych środowiskach, World Scientific, Singapur, 1990), a następnie przez Szabados (Studia Sci Matematyka, Hung. 31 (1996) 249ndash297). Takie podejście jest dość naturalne i elementarne, i jako takie może zostać rozszerzone na bardziej ogólne sytuacje. Opierając się na tym, używamy ruchomych średnich odpowiedniej zagnieżdżonej sekwencji prostych spacerów losowych, które prawie na pewno jednostajnie zbiegają się na ułamkowy ruch Browna na kompaktach kiedy. Szybkość konwergencji udowodniła w tym przypadku. gdzie N jest liczbą kroków stosowanych do przybliżenia. Jeśli bardziej dokładne (ale także bardziej skomplikowane) Komloacutes et al. (1975-1976) zamiast tego posłużyć do przydzielania losowych spacerów do normalnego ruchu Browna, wówczas ten sam typ średnich ruchów niemal na pewno jednolicie zbieżny jest do ułamkowego ruchu Browna na kompaktach dla dowolnej warstwy H (0,1). Ponadto przewiduje się, że wskaźnik konwergencji jest najlepszy. choć tylko tutaj udowodnione. Frakcjonalny ruch Browna Budowa ścieżki Mocne przybliżenie Losowa jazda Średnia ruchoma 1. Frakcyjny ruch Browna Ułamkowy ruch Browna (fBM) jest uogólnieniem zwykłego ruchu Browna (BM), szczególnie gdy zależność od dalekiego zasięgu jest niezbędna. Choć historia fBM wywodzi się z Kołmogorowa (1940 r.) I innych, jej wyraźne wprowadzenie wynika z Mandelbrota i van Nessa (1968 r.). Ich zamiarem było zdefiniowanie samo-podobnego. wyśrodkowany proces Gaussa W (H) (t) (t0) ze stacjonarnymi, ale nie niezależnymi przyrostami i ciągłymi ścieżkami próbek a. s. Tutaj samo-podobieństwo oznacza, że ​​dla dowolnego a gt0, gdzie H isin (0,1) jest parametrem Hurst fBM i oznacza równość w rozkładzie. Pokazali, że właściwości te charakteryzują się fBM. Sprawa zmniejsza się do zwykłego BM z niezależnymi przyrostami, podczas gdy przypadki (odpowiednio) dają ujemnie (względnie dodatnio) skorelowane przyrosty, patrz Mandelbrot i van Ness (1968). Wydaje się, że w zastosowaniach fBM najczęściej stosuje się przypadek. Mandelbrot i van Ness (1968) przedstawili następującą wyraźną reprezentację fBM jako średnią ruchomą zwykłego, ale dwustronnego BM: gdzie t 0 i (x) maksimum (x, 0). Idea (2) jest związana z deterministycznym rachunkiem frakcyjnym. która ma jeszcze dłuższą historię niż fBM, wracając do Liouville, Riemanna i inni widzą w Samko i in. (1993). Najprostszym przypadkiem jest podanie ciągłej funkcji f i dodatniej liczby całkowitej. Wtedy indukcja integracji przez części może pokazać, że jest to kolejna iteracja przeciwwskazań (lub całka rzędna) f. Z drugiej strony ta całka jest dobrze zdefiniowana dla wartości dodatnich nie będących liczbami całkowitymi, a w tym przypadku może to być frakcja całkowita f. Zatem, heurystycznie, główną częścią (2) jest całka porządkowa (w zwykłym sensie nieistniejącego) procesu białego szumu W prime (t). Zatem fBM W (H) (t) można uznać za modyfikację stacjonarnej przyrostu częściowej frakcji W (t) procesu białego szumu, gdzie. Strong aproksymacja ułamkowego ruchu Browna poprzez przemieszczanie średnich prostych spacerek losowych Identyfikator arxiv -1008.1702 Mediatype teksty Skaner Archiwum internetowe Biblioteka Pythona 0.3.2 Źródło arxiv. orgabs1008.1702v1 Identyfikator-access archive. orgdetailsarxiv-1008.1702 Identyfikator-ark ark: 13960t2r522g74 Ppi 300 Ocr ABBYY FineReader 9.0 Miejsce tworzenia kopii zapasowych ia90570710 Ułamkowy ruch Browna jest uogólnieniem zwykłego Browna ruch, stosowany szczególnie w przypadku, gdy wymagane jest uzależnienie dalekiego zasięgu. Jej wyraźne wprowadzenie jest spowodowane B. B. Mandelbrot i J. W. van Ness (1968) jako samo gaussowski proces WH (t) ze stacjonarnymi skokami. Tutaj samo-podobieństwo oznacza, że ​​(WH (at): t ge 0) stackrel (WH (t): t ge 0), gdzie Hin (0, 1) jest parametrem Hurst ułamkowego ruchu Browna. PEŁNE WYŻYWIENIE. W 1961 r. Knight wydał konstrukcję zwykłego ruchu Browna jako limit prostych spacerów przypadkowych. Później jego metodę uprościł P. Revesz (1990), a następnie przez ówczesnego autora (1996). Takie podejście jest dość naturalne i elementarne, i jako takie może zostać rozszerzone na bardziej ogólne sytuacje. Bazując na tym, używamy średnich ruchomych odpowiednich sekwencji zagnieżdżonych prostych przypadkowych spacerów, które prawie na pewno równomiernie zbiegają się do ułamkowego ruchu Browna na kompaktach, gdy H w (kwarta 1). Szybkość konwergencji udowodniła w tym przypadku O (N log N), gdzie N jest liczbą kroków stosowanych do przybliżenia. Jeśli bardziej dokładne (ale także bardziej skomplikowane) przybliżenie Komlos, Major, Tusnady (1975, 1976) jest używane, zamiast osadzać przypadkowe spacery w zwykły ruch Browna, to ten sam typ średnich ruchów niemal na pewno jednolicie zbieżny z ułamkowym ruchem Browna na kompaktach dla każdego H w (0, 1). Co więcej, współczynnik konwergencji jest przypuszczalny, że jest to najlepszy możliwy współczynnik O (N log N), chociaż tutaj udowodniono tylko O ​​(N log N). Dokument du Dokument Nazwa dokumentu Silne przybliżenie ułamkowego ruchu Browna poprzez przemieszczanie średnich prostych spacerów losowych Auteur (s) Autor (a) Przynależność (e) du ou des auteurs Autor (ów) Przynależność (s) (1) Wydział Matematyki, Uniwersytet Techniczny w Budapeszcie, Egry u 20-22, H p. V em, Budapest, 1521, HONGRIE Rsum Abstract Ułamek ruchu Browna jest uogólnieniem zwykłego ruchu Browna, wykorzystywanego zwłaszcza w sytuacjach, gdy wymagana jest zależność długiego zasięgu. Jego wyraźne wprowadzenie jest spowodowane Mandelbrot i van Ness (SIAM Rev. 10 (1968) 422) jako samopodobny proces Gaussa W (H) (t) ze stacjonarnymi przyrostami. Tutaj samo-podobieństwo oznacza, że ​​(a-H W (H) (at): t0) d - (W (H) (t): t0), gdzie H (0, 1) jest parametrem Hurst ułamkowego ruchu Browna. PEŁNE WYŻYWIENIE. W 1961 r. Knight wydał konstrukcję zwykłego ruchu Browna jako ograniczenie prostych spacerów przypadkowych. Później jego metodę uprościł Rvsz (Random Walk w losowych i nie losowych środowiskach, World Scientific, Singapur, 1990), a następnie przez Szabados (Studia Sci Math Mat., Hung. 31 (1996) 249-297). To podejście jest dość naturalne i elementarne, a jako takie może być rozszerzone na bardziej ogólne sytuacje. Opierając się na tym, używamy średnich ruchów odpowiedniej zagnieżdżonej sekwencji prostych spacerów losowych, które prawie na pewno jednorodnie zbliżają się do ułamkowego ruchu Browna na kompaktach, gdy H (14, 1). Szybkość konwergencji okazała się w tym przypadku O (N - min (H-14,1-4) log N), gdzie N jest liczbą kroków zastosowanych do przybliżenia. Jeśli bardziej dokładne (ale i bardziej skomplikowane) Komls et al. (1975, 1976) wykorzystuje się raczej do przybliżania losowych spacerów do normalnego ruchu Browna, wówczas ten sam typ średnich ruchów niemal na pewno jednolicie zbieżny jest do ułamkowego ruchu Browna na kompaktach dla każdego H (0, 1). Co więcej, zakłada się, że współczynnik konwergencji jest najlepszym możliwym O (N - H log N), ale tylko O ​​(N-min (H, 12) log N) jest tutaj udowodniony. Revue Dziennik Tytuł Source Source 2001, vol. 92, nr 1, s. 31-60 (17 ref.) Język Langite Język Editeur Wydawca Elsevier, Amsterdam, PAYS-BAS (1973) (Revue) Mots-cls anglais English Słowa kluczowe Rosyjskie średnie kroczące, semimartingale i wycenę opcji Patrick Cheridito. Wydział Matematyki, ETH Zrich, CH-8092 Zrich, Szwajcaria Otrzymano 30 stycznia 2003 r. Zmieniony 11 czerwca 2003 r. Zaakceptowany 18 sierpnia 2003 r. Dostępny online 21 września 2003 r. Zapewniamy scharakteryzowanie procesów Gaussa za pomocą stacjonarnych przyrostów, które można przedstawić jako średnia ruchoma w odniesieniu do dwustronnego ruchu Browna. W takim procesie dajemy niezbędny i wystarczający warunek, aby być półmartym w odniesieniu do filtracji generowanej przez dwustronny ruch Browna. Ponadto pokazujemy, że warunek ten oznacza, że ​​proces jest albo zmienny lub wielokrotny ruch Browna w odniesieniu do równoważnego równoważności prawdopodobieństwa. Jako aplikacja omawiamy problem wyceny opcji w modelach finansowych napędzanych przez Gaussowskie średnie ruchome ze stacjonarnymi krokami. W szczególności, czerpiemy ceny opcji w uregulowanej wersji ułamkowej modelu BlackScholes. Procesy Gaussa Ruchome średnie przedstawienie Semimartingales Równoważna metoda martenzytyczna Opcja cena 1 Wprowadzenie Pozwolić przestrzeń prawdopodobieństwa wyposażona w dwustronny ruch Browna, to znaczy ciągły, skoncentrowany proces Gaussa z kowariancją Dla funkcji, która jest równa zero na ujemnej osi rzeczywistej i spełnia dla wszystkich GT0 można zdefiniować wyśrodkowany proces Gaussa ze stacjonarnymi krokami, Celem pracy jest badanie procesów w formularzu (1.1) z myślą o modelowaniu finansowym. Jeśli (Xt) t0 jest procesem stochastycznym, oznacza to najmniejszą filtrację, która spełnia zwykłe założenia i zawiera filtrację. Oznacza to najmniejszą filtrację, która spełnia zwykłe założenia i zawiera filtrację. Struktura papieru jest jak następuje. W sekcji 2 przypominamy wynik Karhunen (1950). co daje warunki konieczne i wystarczające do reprezentowania stacjonarnego, wyśrodkowanego procesu Gaussa w formie, gdzie. W Rozdziale 3 podajemy charakterystykę tych procesów w postaci (1.1), które są jednowartoœciowe i pokazujemy, że są albo procesami skończonej zmienności, albo dla każdego T (0,) istnieje równoważna miara prawdopodobieństwa, pod którą (Y) t) t 0, T jest wielokrotnością ruchu Browna. W rozdziale 4 stosujemy transformację wprowadzoną w Masani (1972) w celu ustalenia zgodności jeden-do-jednego pomiędzy stacjonarnymi wyśrodkowanymi procesami Gaussa a wyśrodkowanymi procesami Gaussa ze stacjonarnymi przyrostami, które wynoszą zero dla t 0. Pozwala to nam rozszerzyć wynik Karhunensa na środek Procesy Gaussa ze stacjonarnymi przyrostami i pokazanie, że każdy proces w formie (1.1) może być przybliżony przez semimartingale formy (1.1). Przenosząc wyniki z Sekcji 3 z powrotem do szkieletu stacjonarnych centralnych procesów gaussowskich, otrzymujemy rozszerzenie twierdzenia 6.5 Rycerza (1992). co daje niezbędny i wystarczający warunek, aby proces postaci (1.2) był bliski. W rozdziale 5 omawiamy problem wyceny opcji w modelach finansowych napędzanych procesami formularza (1.1). Jako przykład wyceniamy europejską opcję kupna w regularnym ułamkowym modelu BlackScholes. 2 Stacjonarne średnie ruchy Gaussa Definicja 2.1 Proces stochastyczny jest stacjonarny, jeśli dla wszystkich, gdzie równość wszystkich rozkładów skończonych wymiarów. Definicja 2.2 Przez S rozumiemy zestaw funkcji, które (t) 0 dla wszystkich t lt0. Jeśli S. możemy dla wszystkich zdefiniować w sensie L2. Jest oczywiste, że jest stacjonarnym procesem Gaussa. Jeśli to możliwe, wybieramy wersję w wersji prawostopowej. Przykład 2.3. Pozwól, dla gt0. Następnie, S i jest stacjonarnym procesem OrnsteinUhlenbeck. Uwaga 2.4 Niech S. Można to wykazać przez zbliżenie do ciągłych funkcji ze zwartym wsparciem, co oznacza, że ​​t X t jest ciągłym mapowaniem od do. Ponadto, gdy oznacza przypadek L2 - rozkład liniowej długości zbioru zmiennych losowych składających się na kwadrat. Następujące twierdzenie wynika z Satz 5 w Karhunen (1950). Twierdzenie 2.5 (Karhunen, 1950) Niech będzie stacjonarnym procesem gaussowskim tak, że w ten sposób dokładnie takie same argumenty, które wskazują, że standardowy model BlackScholes jest wolny od arbitrażu i kompletny, może być użyty do udowodnienia, że ​​to samo dotyczy modelu 5.1). W szczególności, unikalna cena godziwa europejskiego wezwania do zapłaty z terminem zapadalności T i ceną wyczekiwania K jest podana przez If ma formę (i) lub (ii), a następnie można ją łatwo uregulować: wybierz dowolną zmienność v gt0. Twierdzenie 4.4. istnieje dla wszystkich gt0 funkcja postaci (iii) tak, że i Uwaga 5.1 (1) Niech SI I (0) 0. Oczywiście rozkład procesu (Y t) t 0, T zależy od całej funkcji. Z drugiej strony cena opcji (5.2) zależy tylko od (0). Powodem tego jest to, że cena opcji podana przez (5.2) to minimalna kwota początkowego majątku potrzebna do odtworzenia opcji wypłaty ze strategią handlową, która może być regulowana w sposób ciągły w czasie, i można to zobaczyć na (3.9) zmienność modelu (5.1) wynika z (0). (2) Przez zastąpienie funkcji SI w przedstawieniu (3.3) odpowiednim procesem stochastycznym (t) t 0, T z wartościami w SI. powinno być możliwe rozszerzenie modeli formy (5.1) na modele o niestabilności stochastycznej. Przykład 5.2 (Ujednolicony ułamkowy model BlackScholes) Niech stała dodatnia. i cH jak w przykładzie 3.3 (b). Następnie proces jest równy, gdzie jest standardowy fBm, a odpowiadający mu model (5.1) jest ułamkową wersją modelu BlackScholes. Aby omówić empiryczne dowody korelacji w cenach akcji, zobacz np. Cutland i in. (1995) lub Willinger i in. (1999) i odnośniki do niego. W modelach cen ułamkowych aktywów Klappelberga i Khn (2002) motywuje się demonstracją, że fBm można postrzegać jako ograniczenie procesów hałasu Poissona. Z twierdzenia 3.9 (b) wynika jednak, że (B t H) t 0, T nie jest semimartingiem w odniesieniu do filtracji i dobrze wiadomo, że nie jest to semimartingale we własnej filtracji (dla dowodu) w sprawie patrz przykład 4.9.2 w Liptser i Shiryaev (1989), aby uzyskać ogólny dowód, patrz Maheswaran and Sims (1993) lub Rogers (1997)). Z twierdzenia 7.2 w Delbaen i Schachermayer (1994) wynika, że ​​istnieje wolny lunch z zanikającym ryzykiem składającym się z prostych, przewidywalnych strategii handlowych. W Maheswaran i Sims (1993) można znaleźć wczesną dyskusję na temat istnienia arbitrażu w modelach fBm. W Rogers (1997) skonstruowany jest arbitraż dla liniowego modelu fBm i wykazano, że fBm można przekształcić w semimartingale, zmieniając funkcję w pobliżu zera. Strategie arbitrażu podane w Shiryaev (1998) i Salopek (1998) pracują dla liniowych i wykładniczych modeli fBm z. W Cheridito (2003) arbitraż dla liniowych i wykładniczych modeli fBm jest skonstruowany dla wszystkich. Aby uporządkować ułamkowy model BlackScholes, możemy zmodyfikować funkcję (5.3) w następujący sposób: Dla v gt0 i d gt0, zdefiniuj Jest oczywiste, że dla danego v gt0, Stąd, może być pokazane, jak w dowodzie Twierdzenia 4.4, że dla wszystkie gt0 istnieje ad gt0 takie, że Z drugiej strony, ponieważ funkcja v, d ma postać (iii), odpowiedni model (5.1) jest wolna od arbitrażu i kompletny, a cena europejskiej opcji kupna jest podana przez (5.2). Podziękowania Niniejsza publikacja wyrosła z rozdziału autorskiej rozprawy doktorskiej prowadzonej w ETH Zrich pod nadzorem Freddy'ego Delbaena. Autor jest wdzięczny Janowi Rosinskiemu i Markowi Yorowi za pomocne komentarze i Yacine At-Sahalia za zaproszenie do Bendheim Center for Finance w Princeton, gdzie napisano część artykułu. Wsparcie finansowe ze Szwajcarskiej Narodowej Fundacji Nauki i Credit Suisse zostało z wdzięcznością przyjęte. Referencje Black and Scholes 1973 F. Black. M. Scholes Cennik opcji i zobowiązań J. Polit. Ekonom. Tom 81. 1973. str. 637659 Cheridito 2002 P. Cheridito Wrażliwość ceny opcji BlackScholes na lokalne zachowanie ścieżki procesu stochastycznego modelującego aktywa bazowe Proc. Steklov Inst. Matematyka. Tom 237. 2002. s. 225239 Cheridito 2003 P. Cheridito Arbitraż w ułamkowych modelach ruchu Browna. Tom 7. wydanie 4. 2003. str. 533553 Cherny 2001 Cherny, A. 2001. Kiedy średnia ruchoma jest półrocznym sprawozdaniem z badań 2001-2004, MaPhySto, Dania. Cutland 1995 N. J. Cutland. P. E. Kopp. W. Willinger zwraca ceny akcji i efekt Josepha ułamkową wersję modelu Prosp. BlackScholes. Probab. Tom 36. 1995. s. 327351 Delbaen i Schachermayer 1994 F. Delbaen. W. Schachermayer Ogólna wersja podstawowego twierdzenia o wycenie aktywów Math. Ann. Tom 300. Wydanie 3. 1994. s. 463520 Embrechts i Maejima 2002 Embrechts, P. Maejima, M. 2002. Procesy samoistne. Seria Princeton w matematyce stosowanej. Princeton University Press, Princeton, NJ. Emery 1982 M. Emery Corvariance des semimartingales gaussiennes C. R. Acad. Sci. Paryż S. I Matematyka. Tom 295. Wydanie 12. 1982. s. 703705 Galchouk 1984 Galchouk, L. I. 1984. Gaussowskie semimartingale. Statystyka i kontrola procesów stochastycznych (Moskwa), transl. Ser. Matematyka. Engrg. Optimization Software, New York, str. 102121. Harrison 1984 J. M. Harrison. R. Pitbladdo. S. M. Schaefer Ciągłe procesy cenowe na rynkach bez tarcia mają nieskończoną zmienność. J. Biznes. Tom 57. 1984. s. 353365 Hitsuda 1968 M. Hitsuda Przedstawienie procesów Gaussa równoważnych procesowi Wienera Osaka J. Math. Tom 5, 1968. s. 299312 Jain i Monrad 1982. N. C. Jain. D. Monrad Gazyjski quasimartingales Z. Wahrsch. Verw. Gebiete. Tom 59. Wydanie 2. 1982. s. 139159 Jeulin i Yor 1993 Jeulin, T. Yor, M. 1993. Komórki Moyennes i semimartingales. Sminaire de Probabilits, t. XXVII, Wykład z matematyki, nr 1557, Springer, Berlin, str. 5377. Karatzas i Shreve 1991 I. Karatzas. S. E. Shreve Brownian Motion i Stochastic Calculus. 1991. Springer, Berlin Karhunen 1950 K. Karhunen ber die Struktur stationrer zuflliger Funktionen Ark. Mat. Tom 1. Wydanie 3. 1950. s. 141160 Klppelberg i Khn 2002 Klppelberg, C. Khn, C. 2002. Frakcyjny ruch Browna jako słaby punkt w procesach hałasu Poissona z aplikacjami do finansowania. Preprint. Knight 1992 F. B. Podstawy rycerzy procesu predykcyjnego. 1992. Oxford University Press, Oxford Kolmogorov 1940 A. N. Kolmogorov Wienersche Spiralen und einige andere interessante Kurven im Hilbertschen Raum C. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS (N. S.). Tom 26. 1940 r. Str. 115118 Liptser i Shiryaev 1989 R. Sh. Liptser. NA. Teoria Shiryaev z Martingales. 1989. Wydawca Kluwer Academic, Dordrecht, Hinghant, Maheswaran i Sims 1993 Maheswaran, S. Sims, C. A. 1993. Empiryczne implikacje rynków aktywów wolnych od arbitrażu. Modele, metody i zastosowania ekonometrii, Peter, C. Phillips, B. (red.), Basil Blackwell, Oxford. Mandelbrot i Van Ness 1968 B. B. Mandelbrot. J. W. Van Ness Frakcjonowane ruchy Browna, ułamkowe dźwięki i aplikacje SIAM Rev. Tom 10. 1968. str. 422437 Masani 1972 P. Masani Na spiralach w przestrzeni Hilberta I. Teoria Probab. Appl. Tom 17. 1972. str. 119 Protter 1990 P. Protter Integracja stochastyczna i równania różniczkowe. 1990. Springer, Berlin Rogers, 1997 L. C.G. Rogers Arbitrage z ułamkowym matematyką ruchu Browna. Finanse. Tom 7, wydanie 1. 1997. s. 95105 Revuz i Yor 1999 D. Revuz. M. Yor Ciągłe Martingale i ruch Browna. 1999. Springer, Berlin Salopek 1998 D. M. Salopek Tolerancja na arbitraż Stochast. Proces. Appl. Tom 76. Wydanie 2. 1998. s. 217230 Samorodnitsky i Taqqu 1994 G. Samorodnitsky. M. S. Taqqu Stabilne nie-Gaussowskie losowe procesy. 1994. Chapman amp Hall, Nowy Jork Samuelson, 1965 P. A. Samuelson Racjonalna teoria wyceny warrantów Indust. Zarządzanie. Rev. Tom 6. Wydanie 2. 1965. s. 1331 Shiryaev 1998 Shiryaev, A. N. 1998. W sprawie arbitrażu i replikacji modeli fraktali. Raport z badań nr 1998-20, MaPhySto, Dania. Stricker 1977 C. Stricker Quasimartingales, miejsca martingales, semimartingales i filtracje naturelles Zeit. fr Wahrsch. und verw. Gebiete. Tom 39. Wydanie 1. 1977 r. Str. 5564 Stricker 1983 C. Stricker Semimartingale gaussiennesapplication au problme de linnovation Z. Wahrsch. Verw. Gebiete. Tom 64. Issue 3. 1983. str. 303312 Stricker 1984 Stricker, C. 1984. Quelques remarques sur les semimartingales Gaussiennes et le problme de linnovation. Notatki z wykładów w Control and Information Science, wol. 61, Springer, Berlin, str. 260276. Willinger 1999 W. Willinger. M. S. Taqqu. V. Teverovsky Ceny giełdowe i uzależnienie dalekosiężne Finanse Stochast. Tom 3. Wydanie 1. 1999. s. 113 Copyright 2003 Elsevier B. V. Wszelkie prawa zastrzeżone. Cytowanie artykułów ()